题目
一、用位移法计算图示刚架,求出系数项及自由项。EI=常数。(15分)8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m解:(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B的角位移8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m。(2)基本体系在B点施加附加刚臂,约束B点的转动,得到基本体系。8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m(3)位移法方程 (4)计算系数和自由项令,作图如( 空1 )所示。(4分)8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6mA. B. C. 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m D. E. F. 为研究对象,由8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m,得8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m( 空2 )(3分) G. -78kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 118kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 58kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m -118kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 作8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m图如( 空3 )所示。(4分) 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 由8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m,得8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m( 空4 )(2分) 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m解方程组,求出8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m( 空5 )(2分) 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m 8kN/m 40kN-|||-A-|||-B C-|||-D-|||-3m 3m 6m ;(2) ;(3) ;(4)B;(5)C
一、用位移法计算图示刚架,求出系数项及自由项。EI=常数。(15分)
解:
(1)基本未知量
这个刚架基本未知量只有一个结点B的角位移
。
(2)基本体系
在B点施加附加刚臂,约束B点的转动,得到基本体系。
(3)位移法方程
(4)计算系数和自由项
令,作图如( 空1 )所示。(4分)
B.
C.
D.
E.
F. 为研究对象,由
,得
( 空2 )(3分)G. -7
11
5
-11
作
图如( 空3 )所示。(4分)
由
,得
( 空4 )(2分)
解方程组,求出
( 空5 )(2分)
;(2)
;(3)
;(4)B;(5)C
题目解答
答案
空 2 空 3 空 4 空 5
解析
步骤 1：确定基本未知量
刚架的基本未知量为结点B的角位移${A}_{1}$。
步骤 2：建立基本体系
在结点B处施加附加刚臂，约束B点的转动，得到基本体系。
步骤 3：建立位移法方程
根据位移法的基本原理，建立位移法方程，即：
${\delta }_{11}{A}_{1}+{F}_{1P}=0$
步骤 4：计算系数和自由项
令${\Delta }_{1}=1$，作${M}_{1}$图，计算${\delta }_{11}$。
${\delta }_{11}=\int \frac{{M}_{1}^{2}}{EI}dx$
根据图示，${M}_{1}$图的弯矩分布为：
- AB段：$M_{1} = 3i$
- BC段：$M_{1} = 4i$
- CD段：$M_{1} = 2i$
代入公式计算${\delta }_{11}$：
${\delta }_{11} = \frac{1}{EI} \left(3i \times 3 + 4i \times 3 + 2i \times 6\right) = \frac{1}{EI} \left(9i + 12i + 12i\right) = \frac{33i}{EI}$
因此，${\delta }_{11} = \frac{33i}{EI}$。
步骤 5：计算自由项${F}_{1P}$
作${M}_{F}$图，计算${F}_{1P}$。
${F}_{1P} = \int \frac{{M}_{F}M_{1}}{EI}dx$
根据图示，${M}_{F}$图的弯矩分布为：
- AB段：$M_{F} = 30kN\cdot m$
- BC段：$M_{F} = 36kN\cdot m$
- CD段：$M_{F} = 45kN\cdot m$
代入公式计算${F}_{1P}$：
${F}_{1P} = \frac{1}{EI} \left(30kN\cdot m \times 3i + 36kN\cdot m \times 3i + 45kN\cdot m \times 6i\right) = \frac{1}{EI} \left(90kN\cdot m \times i + 108kN\cdot m \times i + 270kN\cdot m \times i\right) = \frac{468kN\cdot m \times i}{EI}$
因此，${F}_{1P} = \frac{468kN\cdot m \times i}{EI}$。
步骤 6：求解${A}_{1}$
将${\delta }_{11}$和${F}_{1P}$代入位移法方程，求解${A}_{1}$：
${\delta }_{11}{A}_{1}+{F}_{1P}=0$
$\frac{33i}{EI}{A}_{1}+\frac{468kN\cdot m \times i}{EI}=0$
${A}_{1}=-\frac{468kN\cdot m}{33}=-\frac{21}{11i}$
刚架的基本未知量为结点B的角位移${A}_{1}$。
步骤 2：建立基本体系
在结点B处施加附加刚臂，约束B点的转动，得到基本体系。
步骤 3：建立位移法方程
根据位移法的基本原理，建立位移法方程，即：
${\delta }_{11}{A}_{1}+{F}_{1P}=0$
步骤 4：计算系数和自由项
令${\Delta }_{1}=1$，作${M}_{1}$图，计算${\delta }_{11}$。
${\delta }_{11}=\int \frac{{M}_{1}^{2}}{EI}dx$
根据图示，${M}_{1}$图的弯矩分布为：
- AB段：$M_{1} = 3i$
- BC段：$M_{1} = 4i$
- CD段：$M_{1} = 2i$
代入公式计算${\delta }_{11}$：
${\delta }_{11} = \frac{1}{EI} \left(3i \times 3 + 4i \times 3 + 2i \times 6\right) = \frac{1}{EI} \left(9i + 12i + 12i\right) = \frac{33i}{EI}$
因此，${\delta }_{11} = \frac{33i}{EI}$。
步骤 5：计算自由项${F}_{1P}$
作${M}_{F}$图，计算${F}_{1P}$。
${F}_{1P} = \int \frac{{M}_{F}M_{1}}{EI}dx$
根据图示，${M}_{F}$图的弯矩分布为：
- AB段：$M_{F} = 30kN\cdot m$
- BC段：$M_{F} = 36kN\cdot m$
- CD段：$M_{F} = 45kN\cdot m$
代入公式计算${F}_{1P}$：
${F}_{1P} = \frac{1}{EI} \left(30kN\cdot m \times 3i + 36kN\cdot m \times 3i + 45kN\cdot m \times 6i\right) = \frac{1}{EI} \left(90kN\cdot m \times i + 108kN\cdot m \times i + 270kN\cdot m \times i\right) = \frac{468kN\cdot m \times i}{EI}$
因此，${F}_{1P} = \frac{468kN\cdot m \times i}{EI}$。
步骤 6：求解${A}_{1}$
将${\delta }_{11}$和${F}_{1P}$代入位移法方程，求解${A}_{1}$：
${\delta }_{11}{A}_{1}+{F}_{1P}=0$
$\frac{33i}{EI}{A}_{1}+\frac{468kN\cdot m \times i}{EI}=0$
${A}_{1}=-\frac{468kN\cdot m}{33}=-\frac{21}{11i}$