12-12-12-13 试求图示梁的自振频率和主振型。梁的自重可略去不计, EI= 常数。-|||-m 2m m 2m-|||-m 2m-|||-a a a-|||-题 12-12-|||-a a a a-|||-题 12-13

步骤 1：确定梁的边界条件和质量分布
- 假设梁的边界条件为简支或固定，质量分布均匀。
- 梁的长度为3a，质量为m，弹性模量为E，惯性矩为I。

步骤 2：建立梁的运动方程
- 根据梁的边界条件和质量分布，建立梁的运动方程。
- 运动方程通常为二阶偏微分方程，形式为：$EI\dfrac {{\partial }^{4}w}{\partial {x}^{4}}+m\dfrac {{\partial }^{2}w}{\partial {t}^{2}}=0$，其中w为梁的挠度，x为梁的长度方向，t为时间。

步骤 3：求解梁的自振频率
- 对运动方程进行分离变量，得到频率方程。
- 频率方程的形式为：$\dfrac {{\partial }^{4}w}{\partial {x}^{4}}+\dfrac {m}{{EI}}{\omega }^{2}w=0$，其中$\omega$为自振频率。
- 根据梁的边界条件，求解频率方程，得到自振频率${\omega }_{1}$和${\omega }_{2}$。

步骤 4：求解梁的主振型
- 对于每个自振频率，求解对应的主振型。
- 主振型是梁在自振频率下的挠度分布，通常用归一化形式表示。
- 根据梁的边界条件和自振频率，求解主振型${A}_{1}^{(1)}$、${A}_{2}^{(1)}$、${A}_{1}^{(2)}$、${A}_{2}^{(2)}$。