题目
(2) =(x)^2+(y)^2+(z)^2 其中 =(x)^2cos y;-|||-(3) =((x)^2+cos y)-|||-(4) =(e)^ysin v, 其中 =dfrac (x)(y), =xy.-|||-12.设 =dfrac (x)(f({x)^2-(y)^2)}, 其中f(u)为可微函数,证明-|||-dfrac (partial z)(xpartial x)+dfrac (partial z)(ypartial y)=dfrac (z)({x)^2}-|||-13.设函数 z=z(x,y) 由方程 ^2z+2(y)^2(z)^2-xy=0 所确定,求dz.-|||-14.求曲面 =(x)^2+(y)^2-1 在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程-|||-15.求曲线 (z=+y+y=z-6在点(1,1,2)处的切线方程与法平面-|||-={x)^2+(y)^2-|||-16.求函数 (x,y)=(x)^2-12xy+8(y)^3 的极值.-|||-17.求表面面积为6a ^2的最大的长方体的体积.-|||-18.求函数 =(x)^2+(y)^2-12x+16y 在条件 ^2+(y)^2leqslant 25 下的最
题目解答
答案
设长宽高分别为x, y, z
则2(xy+xz+yz)=6a²，得xy+xz+yz=3a²
V=xyz
由均值不等式，3a²=xy+xz+yz>=3(xyxzyz)^(1/3)=3V^(2/3)， 仅当xy=xz=yz, 即x=y=z时取等号。
因此有V<=a³
即体积最大为a³
则2(xy+xz+yz)=6a²，得xy+xz+yz=3a²
V=xyz
由均值不等式，3a²=xy+xz+yz>=3(xyxzyz)^(1/3)=3V^(2/3)， 仅当xy=xz=yz, 即x=y=z时取等号。
因此有V<=a³
即体积最大为a³
解析
步骤 1：确定长方体的体积和表面积
设长方体的长、宽、高分别为x, y, z，则其体积V=xyz，表面积S=2(xy+xz+yz)。
步骤 2：利用表面积条件
已知表面积S=6a²，即2(xy+xz+yz)=6a²，从而xy+xz+yz=3a²。
步骤 3：利用均值不等式求体积最大值
由均值不等式，3a²=xy+xz+yz>=3(xyxzyz)^(1/3)=3V^(2/3)，仅当xy=xz=yz，即x=y=z时取等号。
步骤 4：计算最大体积
因此有V<=a³，即体积最大为a³。
设长方体的长、宽、高分别为x, y, z，则其体积V=xyz，表面积S=2(xy+xz+yz)。
步骤 2：利用表面积条件
已知表面积S=6a²，即2(xy+xz+yz)=6a²，从而xy+xz+yz=3a²。
步骤 3：利用均值不等式求体积最大值
由均值不等式，3a²=xy+xz+yz>=3(xyxzyz)^(1/3)=3V^(2/3)，仅当xy=xz=yz，即x=y=z时取等号。
步骤 4：计算最大体积
因此有V<=a³，即体积最大为a³。