例7.29 试求图示超静定梁支座约束力值,梁弯曲刚度EI为常量。-|||-q-|||-A B-|||-C-|||-a a a a-|||-例7.29图

考查要点：本题主要考查超静定梁的解法，涉及力法的基本应用、挠度计算及对称性利用。

解题核心思路：

1. 解除多余约束，选择简支梁作为基本系统；
2. 叠加法计算挠度，建立位移方程；
3. 利用对称性简化计算；
4. 结合静力平衡方程求解支座反力。

破题关键点：

• 正确选择基本系统，确定多余约束力；
• 准确应用挠度公式（如悬臂梁、简支梁的挠度计算）；
• 符号处理需注意荷载与约束力对挠度方向的影响。

步骤1：解除多余约束，建立基本系统

• 原结构为三次超静定，选择解除C支座，将原结构转化为简支梁AB，多余约束力为$F_C$。

步骤2：计算挠度分量

荷载引起的挠度$v_{a1}$

简支梁AB在均布荷载$q$作用下，C点挠度为：
$v_{a1} = \frac{q a^4}{8EI}$

约束力$F_C$引起的挠度$v_{a2}$

$F_C$作用于C点，等效为悬臂梁AC的端部受力，挠度为：
$v_{a2} = \frac{F_C (2a)^3}{3EI} = \frac{8 F_C a^3}{3EI}$

步骤3：建立位移方程

根据C点挠度为零的条件：
$v_{a1} - v_{a2} = 0 \implies \frac{q a^4}{8EI} - \frac{8 F_C a^3}{3EI} = 0$
解得：
$F_C = \frac{3 q a}{32}$

步骤4：利用对称性求$F_A$和$F_B$

利用对称性，取C端固定，AC段为悬梁，A点挠度$v_A=0$。荷载$q$和$F_A$共同作用下：
$\frac{q a^3}{6EI} - \frac{F_A (2a)^3}{3EI} = 0$
解得：
$F_A = \frac{q a}{16}$
由静力平衡，$F_B = F_A = \frac{q a}{16}$。