题目
计算题(本题10分)图示平面结构,自重不计。B处为铰链联接。已知:P = 100 kN,M = 200 kN·m,L1 = 2m,L2 = 3m。试求支座A的约束反力。D B-|||-么
计算题(本题10分)
图示平面结构,自重不计。B处为铰链联接。已知:P = 100 kN,M = 200 kN·m,L1 = 2m,L2 = 3m。试求支座A的约束反力。
题目解答
答案
由
P·2l,-FAX·(2L1-L2)-FAy·2L2-M=0……(1)
再以EADB为研究对象受力如图所示,
由
……(2)
……(2)联立(1)(2)两式得
四 解:(1)选取重物平衡位置为基本原点,并为零势能止,其运动规律为
X=ASin(ωnt=θ)
在解时t物块的动能势能为
(其中Kδst=Q)当特块处于平衡位置时
当物块处于偏离振动中心位置极端位置时,
由机械能守恒定律,有
重物振动周期为
(2)两个弹簧并联,则性系数为
解析
步骤 1：确定研究对象
选取整个结构为研究对象，包括杆件AB和BC，以及支座A和B。B处为铰链连接，意味着B点处的约束力可以分解为水平和垂直两个方向的分力。
步骤 2：列出平衡方程
由于结构处于静止状态，根据静力学平衡条件，结构在任意方向上的合力和力矩都为零。因此，可以列出以下平衡方程：
- 水平方向的合力为零：$\sum F_x = 0$
- 垂直方向的合力为零：$\sum F_y = 0$
- 对于任意点的力矩和为零：$\sum M = 0$
步骤 3：计算支座A的约束反力
首先，以支座A为参考点，列出力矩平衡方程。由于B处为铰链连接，B点处的约束力不会对A点产生力矩，因此只需考虑P和M对A点的力矩。
- 力矩平衡方程：$P \cdot 2L_1 - F_{Ax} \cdot (2L_1 - L_2) - F_{Ay} \cdot 2L_2 - M = 0$
- 代入已知值：$100 \cdot 2 \cdot 2 - F_{Ax} \cdot (2 \cdot 2 - 3) - F_{Ay} \cdot 2 \cdot 3 - 200 = 0$
- 简化方程：$400 - F_{Ax} \cdot 1 - F_{Ay} \cdot 6 - 200 = 0$
- 整理方程：$F_{Ax} + 6F_{Ay} = 200$ (方程1)
其次，以B点为参考点，列出力矩平衡方程。由于A点处的约束力对B点产生力矩，因此需要考虑A点处的约束力。
- 力矩平衡方程：$F_{Ax} \cdot L_2 - F_{Ay} \cdot L_2 - M = 0$
- 代入已知值：$F_{Ax} \cdot 3 - F_{Ay} \cdot 3 - 200 = 0$
- 简化方程：$3F_{Ax} - 3F_{Ay} = 200$
- 整理方程：$F_{Ax} - F_{Ay} = \dfrac{200}{3}$ (方程2)
最后，联立方程1和方程2，求解$F_{Ax}$和$F_{Ay}$。
- 方程1：$F_{Ax} + 6F_{Ay} = 200$
- 方程2：$F_{Ax} - F_{Ay} = \dfrac{200}{3}$
将方程2代入方程1，得到：
- $F_{Ax} + 6F_{Ay} = 200$
- $F_{Ax} = \dfrac{200}{3} + F_{Ay}$
代入方程1：
- $\dfrac{200}{3} + F_{Ay} + 6F_{Ay} = 200$
- $7F_{Ay} = 200 - \dfrac{200}{3}$
- $7F_{Ay} = \dfrac{400}{3}$
- $F_{Ay} = \dfrac{400}{21} = 19.05 kN$
代入方程2求解$F_{Ax}$：
- $F_{Ax} = \dfrac{200}{3} + 19.05$
- $F_{Ax} = \dfrac{600}{7} = 85.71 kN$
选取整个结构为研究对象，包括杆件AB和BC，以及支座A和B。B处为铰链连接，意味着B点处的约束力可以分解为水平和垂直两个方向的分力。
步骤 2：列出平衡方程
由于结构处于静止状态，根据静力学平衡条件，结构在任意方向上的合力和力矩都为零。因此，可以列出以下平衡方程：
- 水平方向的合力为零：$\sum F_x = 0$
- 垂直方向的合力为零：$\sum F_y = 0$
- 对于任意点的力矩和为零：$\sum M = 0$
步骤 3：计算支座A的约束反力
首先，以支座A为参考点，列出力矩平衡方程。由于B处为铰链连接，B点处的约束力不会对A点产生力矩，因此只需考虑P和M对A点的力矩。
- 力矩平衡方程：$P \cdot 2L_1 - F_{Ax} \cdot (2L_1 - L_2) - F_{Ay} \cdot 2L_2 - M = 0$
- 代入已知值：$100 \cdot 2 \cdot 2 - F_{Ax} \cdot (2 \cdot 2 - 3) - F_{Ay} \cdot 2 \cdot 3 - 200 = 0$
- 简化方程：$400 - F_{Ax} \cdot 1 - F_{Ay} \cdot 6 - 200 = 0$
- 整理方程：$F_{Ax} + 6F_{Ay} = 200$ (方程1)
其次，以B点为参考点，列出力矩平衡方程。由于A点处的约束力对B点产生力矩，因此需要考虑A点处的约束力。
- 力矩平衡方程：$F_{Ax} \cdot L_2 - F_{Ay} \cdot L_2 - M = 0$
- 代入已知值：$F_{Ax} \cdot 3 - F_{Ay} \cdot 3 - 200 = 0$
- 简化方程：$3F_{Ax} - 3F_{Ay} = 200$
- 整理方程：$F_{Ax} - F_{Ay} = \dfrac{200}{3}$ (方程2)
最后，联立方程1和方程2，求解$F_{Ax}$和$F_{Ay}$。
- 方程1：$F_{Ax} + 6F_{Ay} = 200$
- 方程2：$F_{Ax} - F_{Ay} = \dfrac{200}{3}$
将方程2代入方程1，得到：
- $F_{Ax} + 6F_{Ay} = 200$
- $F_{Ax} = \dfrac{200}{3} + F_{Ay}$
代入方程1：
- $\dfrac{200}{3} + F_{Ay} + 6F_{Ay} = 200$
- $7F_{Ay} = 200 - \dfrac{200}{3}$
- $7F_{Ay} = \dfrac{400}{3}$
- $F_{Ay} = \dfrac{400}{21} = 19.05 kN$
代入方程2求解$F_{Ax}$：
- $F_{Ax} = \dfrac{200}{3} + 19.05$
- $F_{Ax} = \dfrac{600}{7} = 85.71 kN$