题目
地基中某一单元土体上的大主应力为440(kPa)，小主应力为200(kPa)。通过试验测得土的抗剪强度指标c=15(kPa)，phi=20^circ。试问①该单元土体处于何种状态？②单元土体最大剪应力出现在哪个面上，是否会沿剪应力最大的面发生剪破？
地基中某一单元土体上的大主应力为$440\text{kPa}$，小主应力为$200\text{kPa}$。通过试验测得土的抗剪强度指标$c=15\text{kPa}$，$\phi=20^\circ$。试问①该单元土体处于何种状态？②单元土体最大剪应力出现在哪个面上，是否会沿剪应力最大的面发生剪破？
题目解答
答案
根据莫尔-库仑准则，破坏时的 $\sigma_1$ 为：
\[
\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2 \left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right) + 2c \tan \left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right) = 200 \times 2.039 + 42.843 = 450.643 \, \text{kPa}
\]
实际 $\sigma_1 = 440 \, \text{kPa} < 450.643 \, \text{kPa}$，故土体处于安全状态。
最大剪应力为：
\[
\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = 120 \, \text{kPa}
\]
对应正应力为：
\[
\sigma = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} = 320 \, \text{kPa}
\]
抗剪强度为：
\[
\tau_f = c + \sigma \tan \phi = 15 + 320 \times 0.364 = 131.48 \, \text{kPa}
\]
因 $\tau_{\max} < \tau_f$，最大剪应力面不会发生剪切破坏。
结论：
1. 该单元土体处于安全状态（未达到破坏条件）。
2. 最大剪应力出现在与主应力面成 $45^\circ$ 的面上，其值为 $120 \, \text{kPa}$，但不会沿该面发生剪切破坏。
解析
本题主要考查土力学中莫尔 - 库仑准则的应用，通过比较土体实际应力状态与破坏应力状态来判断土体所处状态，以及分析最大剪应力面的情况。解题思路如下：
- 判断土体所处状态：
- 首先根据莫尔 - 库仑准则，计算在给定小主应力 $\sigma_3$ 和抗剪强度指标 $c$、$\phi$ 条件下，土体达到破坏时的大主应力 $\sigma_1$。
- 莫尔 - 库仑准则的表达式为 $\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2 \left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right) + 2c \tan \left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right)$。
- 已知 $\sigma_3 = 200\text{kPa}$，$c = 15\text{kPa}$，$\phi = 20^\circ$，先计算 $\tan \left(45^\circ + \frac{20^\circ}{2}\right)=\tan 55^\circ\approx2.039$。
- 然后将数值代入公式可得：
$\begin{align*}\sigma_1&= 200 \times 2.039 + 2\times15\times 2.039\\&= 200 \times 2.039 + 42.843\\&= 407.8+ 42.843\\&= 450.643 \, \text{kPa}\end{align*}$ - 再将计算得到的破坏大主应力 $\sigma_1$ 与实际大主应力 $\sigma_1 = 440 \, \text{kPa}$ 比较，因为 $440 \, \text{kPa} < 450.643 \, \text{kPa}$，所以土体处于安全状态。
- 分析最大剪应力面的情况：
- 计算最大剪应力 $\tau_{\max}$，根据公式 $\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$，将 $\sigma_1 = 440\text{kPa}$，$\sigma_3 = 200\text{kPa}$ 代入可得：
$\tau_{\max} = \frac{440 - 200}{2} = 120 \, \text{kPa}$ - 计算最大剪应力面对应的正应力 $\sigma$，根据公式 $\sigma = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}$，将 $\sigma_1 = 440\text{kPa}$，$\sigma_3 = 200\text{kPa}$ 代入可得：
$\sigma = \frac{440 + 200}{2} = 320 \, \text{kPa}$ - 计算该面上的抗剪强度 $\tau_f$，根据公式 $\tau_f = c + \sigma \tan \phi$，已知 $c = 15\text{kPa}$，$\sigma = 320\text{kPa}$，$\tan 20^\circ\approx0.364$，代入可得：
$\begin{align*}\tau_f&= 15 + 320 \\ \times 0.364\\&= 15 + 116.48\\&= 131.48 \, \text{kPa}\end{align*}$ - 比较最大剪应力 $\tau_{\max}$ 与抗剪强度 $\tau_f$，因为 $\tau_{\max} = 120 \, \text{kPa} < \tau_f = 131.48 \, \text{kPa}$，所以最大剪应力面不会发生剪切破坏。
- 根据土力学知识，最大剪应力出现在与主应力面成 $45^\circ$ 的面上。
- 计算最大剪应力 $\tau_{\max}$，根据公式 $\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$，将 $\sigma_1 = 440\text{kPa}$，$\sigma_3 = 200\text{kPa}$ 代入可得：