题目
椭圆C：(({x^2)})/(({a^2))}+(({y^2)})/(({b^2))}=1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为(1)/(4)，则C的离心率为（ ） A. ((sqrt(3)))/(2) B. ((sqrt(2)))/(2) C. (1)/(2) D. (1)/(3)
椭圆C：$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}$+$\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为$\frac{1}{4}$，则C的离心率为（ ）
- A. $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
- B. $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $\frac{1}{3}$
题目解答
答案
解：已知A（-a，0），设P（x0，y0），则Q（-x0，y0），
kAP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，
kAQ=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
故kAP•kAQ=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{a^{2}-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{1}{4}$①，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{a^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{b^{2}}$=1，即${y}_{0}^{2}$=$\frac{b^{2}（a^{2}-{x}_{0}^{2}）}{a^{2}}$②，
②代入①整理得：$\frac{b^{2}}{a^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．
kAP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，
kAQ=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
故kAP•kAQ=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{a^{2}-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{1}{4}$①，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{a^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{b^{2}}$=1，即${y}_{0}^{2}$=$\frac{b^{2}（a^{2}-{x}_{0}^{2}）}{a^{2}}$②，
②代入①整理得：$\frac{b^{2}}{a^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．
解析
步骤 1：确定点A的坐标
椭圆C的左顶点A的坐标为(-a, 0)。
步骤 2：设点P和Q的坐标
设点P的坐标为(x_0, y_0)，由于点P和Q关于y轴对称，所以点Q的坐标为(-x_0, y_0)。
步骤 3：计算直线AP和AQ的斜率
直线AP的斜率k_AP为$\frac{y_0}{x_0 + a}$，直线AQ的斜率k_AQ为$\frac{y_0}{a - x_0}$。
步骤 4：根据斜率之积求解
根据题意，k_AP•k_AQ = $\frac{y_0}{x_0 + a}$•$\frac{y_0}{a - x_0}$ = $\frac{y_0^2}{a^2 - x_0^2}$ = $\frac{1}{4}$。
步骤 5：利用椭圆方程求解
由于点P在椭圆上，所以有$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$，即$y_0^2 = \frac{b^2(a^2 - x_0^2)}{a^2}$。
步骤 6：代入斜率之积的表达式
将步骤5中的$y_0^2$代入步骤4中的斜率之积表达式，得到$\frac{b^2(a^2 - x_0^2)}{a^2(a^2 - x_0^2)} = \frac{1}{4}$，化简得$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$。
步骤 7：计算离心率
椭圆的离心率e = $\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ = $\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$ = $\sqrt{\frac{3}{4}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
椭圆C的左顶点A的坐标为(-a, 0)。
步骤 2：设点P和Q的坐标
设点P的坐标为(x_0, y_0)，由于点P和Q关于y轴对称，所以点Q的坐标为(-x_0, y_0)。
步骤 3：计算直线AP和AQ的斜率
直线AP的斜率k_AP为$\frac{y_0}{x_0 + a}$，直线AQ的斜率k_AQ为$\frac{y_0}{a - x_0}$。
步骤 4：根据斜率之积求解
根据题意，k_AP•k_AQ = $\frac{y_0}{x_0 + a}$•$\frac{y_0}{a - x_0}$ = $\frac{y_0^2}{a^2 - x_0^2}$ = $\frac{1}{4}$。
步骤 5：利用椭圆方程求解
由于点P在椭圆上，所以有$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$，即$y_0^2 = \frac{b^2(a^2 - x_0^2)}{a^2}$。
步骤 6：代入斜率之积的表达式
将步骤5中的$y_0^2$代入步骤4中的斜率之积表达式，得到$\frac{b^2(a^2 - x_0^2)}{a^2(a^2 - x_0^2)} = \frac{1}{4}$，化简得$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$。
步骤 7：计算离心率
椭圆的离心率e = $\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ = $\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$ = $\sqrt{\frac{3}{4}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。