题目
已知一垄断企业成本函数为：TC=5Q 2 +20Q+1000，产品的需求函数为：Q=500-P， 求：(1)利润最大化时的产量、价格和利润。 (2)厂商是否从事生产?
已知一垄断企业成本函数为：TC=5Q 2 +20Q+1000，产品的需求函数为：Q=500-P， 求：(1)利润最大化时的产量、价格和利润。 (2)厂商是否从事生产?
题目解答
答案
(1)利润最大化的原则是：MR=MC 因为TR=P·Q=[500-Q]·Q=500Q-Q 2 所以MR=500-2Q MC=10Q+20 所以500-2Q=10Q+20 Q=40 ?P=460 (2)最大利润=TR-TC =(500Q-Q 2 )-(5Q 2 +20Q+1000)=18100-9800=8600 (3)因为有超额利润8600存在，所以厂商从事生产
解析
步骤 1：确定总收益（TR）函数
根据需求函数Q=500-P，可以将价格P表示为Q的函数，即P=500-Q。总收益TR是价格P与产量Q的乘积，因此TR=P·Q=(500-Q)·Q=500Q-Q^2。
步骤 2：确定边际收益（MR）函数
边际收益MR是总收益TR对产量Q的导数，即MR=d(TR)/dQ=d(500Q-Q^2)/dQ=500-2Q。
步骤 3：确定边际成本（MC）函数
根据成本函数TC=5Q^2+20Q+1000，边际成本MC是总成本TC对产量Q的导数，即MC=d(TC)/dQ=d(5Q^2+20Q+1000)/dQ=10Q+20。
步骤 4：利润最大化条件
利润最大化发生在边际收益等于边际成本时，即MR=MC。将步骤2和步骤3中的表达式代入，得到500-2Q=10Q+20，解这个方程得到Q=40。
步骤 5：确定利润最大化时的价格
将步骤4中得到的产量Q=40代入需求函数P=500-Q，得到P=500-40=460。
步骤 6：计算利润
利润π=TR-TC，其中TR=500Q-Q^2，TC=5Q^2+20Q+1000。将Q=40代入，得到TR=500*40-40^2=18100，TC=5*40^2+20*40+1000=9800，因此π=18100-9800=8600。
步骤 7：判断厂商是否从事生产
由于利润π=8600>0，厂商有超额利润，因此厂商会从事生产。
根据需求函数Q=500-P，可以将价格P表示为Q的函数，即P=500-Q。总收益TR是价格P与产量Q的乘积，因此TR=P·Q=(500-Q)·Q=500Q-Q^2。
步骤 2：确定边际收益（MR）函数
边际收益MR是总收益TR对产量Q的导数，即MR=d(TR)/dQ=d(500Q-Q^2)/dQ=500-2Q。
步骤 3：确定边际成本（MC）函数
根据成本函数TC=5Q^2+20Q+1000，边际成本MC是总成本TC对产量Q的导数，即MC=d(TC)/dQ=d(5Q^2+20Q+1000)/dQ=10Q+20。
步骤 4：利润最大化条件
利润最大化发生在边际收益等于边际成本时，即MR=MC。将步骤2和步骤3中的表达式代入，得到500-2Q=10Q+20，解这个方程得到Q=40。
步骤 5：确定利润最大化时的价格
将步骤4中得到的产量Q=40代入需求函数P=500-Q，得到P=500-40=460。
步骤 6：计算利润
利润π=TR-TC，其中TR=500Q-Q^2，TC=5Q^2+20Q+1000。将Q=40代入，得到TR=500*40-40^2=18100，TC=5*40^2+20*40+1000=9800，因此π=18100-9800=8600。
步骤 7：判断厂商是否从事生产
由于利润π=8600>0，厂商有超额利润，因此厂商会从事生产。