第二章习题习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成:(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00式中,(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00是一个离散随机变量,它具有如下概率分布:P((t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00=0)=0.5,P((t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00/2)=0.5试求E[X(t)]和(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00。解:E[X(t)]=P((t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00=0)2(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00+P((t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00/2)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成:判断它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。解:为功率信号。(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.3 设有一信号可表示为:试问它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。解:它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为:则能量谱密度 G(f)==习题2.4 X(t)=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00,它是一个随机过程,其中和是相互统计独立的高斯随机变量,数学期望均为0,方差均为。试求:(1)E[X(t)],E[(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00];(2)X(t) 的概率分布密度;(3)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00解:(1)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00因为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00相互独立,所以。又因为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00,,所以。故 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(2)因为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00服从高斯分布,(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的线性组合,所以(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00也服从高斯分布,其概率分布函数。(3)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件:(1)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00; (2); (3)解:根据功率谱密度P(f)的性质:①P(f),非负性;②P(-f)=P(f) ,偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件,(2)不满足。习题2.6 试求X(t)=A的自相关函数,并根据其自相关函数求出其功率。解:R(t,t+(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00)=E[X(t)X(t+(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00)] =(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00功率P=R(0)=习题2.7 设(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00和是两个统计独立的平稳随机过程,其自相关函数分别为。试求其乘积X(t)=的自相关函数。解:(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t,t+(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00)=E[X(t)X(t+(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00)]=E[]=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00=习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00,其中m(t)是广义平稳随机过程,且其自相关函数为(1)试画出自相关函数(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的曲线;(2)试求出X(t)的功率谱密度(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00和功率P。解:(1)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00其波形如图2-1所示。图2-1信号波形图(2)因为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00广义平稳,所以其功率谱密度。由图2-8可见,的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积,因此(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。试求此信号的自相关函数。解:x(t)的能量谱密度为G(f)=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00=其自相关函数(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.10 已知噪声的自相关函数,k为常数。(1)试求其功率谱密度函数和功率P;(2)画出和的曲线。解:(1)(2)和的曲线如图2-2所示。图2-2习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:试求X(t)的功率谱密度并画出其曲线。解:详见例2-12习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00试求其平均功率。解:(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.13 设输入信号(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 ,将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器(见图2-3)上,RC=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。解:高通滤波器的系统函数为H(f)=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00输入信号的傅里叶变换为X(f)=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00输出信号y(t)的能量谱密度为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端,得到的输出信号为y(t)=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00式中,(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).解:输出信号的傅里叶变换为Y(f)=(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时,试求输出功率谱密度和自相关函数。解:参考例2-10习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时,试求(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解:(1)LC低通滤波器的系统函数为H(f)=输出过程的功率谱密度为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00对功率谱密度做傅立叶反变换,可得自相关函数为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(2) 输出亦是高斯过程,因此习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声,当输入一个均值为0、双边功率谱密度为 的白噪声时,试求输出噪声的概率密度。解:高斯白噪声通过低通滤波器,输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 , (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00所以输出噪声的概率密度函数(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.18设随机过程可表示成,式中是一个离散随变量,且,试求及。解:(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.19设(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00是一随机过程,若和是彼此独立且具有均值为 0、方差为的正态随机变量,试求:(1)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00、;(2)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的一维分布密度函数;(3)和。解:(1)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00因为和是彼此独立的正态随机变量,和是彼此互不相关,所以(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00又; 同理代入可得 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(2)由(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00=0; 又因为是高斯分布可得 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 (3)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00令 习题2.20求乘积(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的自相关函数。已知与是统计独立的平稳随机过程,且它们的自相关函数分别为、。解:因与是统计独立,故 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.21若随机过程,其中是宽平稳随机过程,且自相关函数为 是服从均匀分布的随机变量,它与彼此统计独立。(1) 证明(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00是宽平稳的;(2) 绘出自相关函数(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的波形;(3) 求功率谱密度(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00及功率S 。解:(1)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00是宽平稳的(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00为常数;(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00只与有关:令(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00所以(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00只与(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00有关,证毕。(2)波形略;(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00而(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的波形为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00可以对(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00求两次导数,再利用付氏变换的性质求出的付氏变换。(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00功率S:(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.22已知噪声(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的自相关函数,a为常数: 求和S;解:因为 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00所以(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.23(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间(-1,1)上,该自相关函数。试求的功率谱密度 。解:见第2. 4 题 因为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 所以(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00据付氏变换的性质可得(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00而(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00故(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.24将一个均值为 0,功率谱密度为为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的高斯白噪声加到一个中心角频率为、带宽为B的理想带通滤波器上,如图(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数;(2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。解:(1)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00因为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00,故又(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00由 付氏变换的性质 可得(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(2)(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00;;所以又因为输出噪声分布为高斯分布可得输出噪声分布函数为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.25设有RC低通滤波器,求当输入均值为 0,功率谱密度为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的白噪声时,输出过程的功率谱密度和自相关函数。解:(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(1) (2) 因为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00所以(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.26将均值为0,功率谱密度为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,(1) 求输出噪声的自相关函数;(2) 求输出噪声的方差。解:(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(1) (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(2) (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00;(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形,它的每个脉冲的持续时为,脉冲幅度取的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关,且过程具有宽平稳性,试证:(1) 自相关函数(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(2) 功率谱密度(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00。解:(1)①当时,与无关,故=0②当(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00时,因脉冲幅度取的概率相等,所以在内,该波形取-1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为。A. 波形取-1-1、11 时, B. (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 C. 在图示的一个间隔(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00内,(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 D. 波形取-1 1、1 -1 时, E. (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 F. 在图示的一个间隔(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00内,(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 G. 当(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00时,(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 故(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 (2) (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00,其中(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00为时域波形的面积。所以(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00。 习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器,若输入过程,(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00是平稳的,求(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00与(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的互功率谱密度的表示式。(提示:互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对) 解: (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 所以(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 令(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 习题2.29若(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00是平稳随机过程,自相关函数为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00,试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。 解: (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0,功率谱密度为(t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00的高斯白噪声,试求输出过程的一维概率密度函数。 解: (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00; (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00 又因为输出过程为高斯过程,所以其一维概率密度函数为 (t)=2cos (2pi t+theta ) ), -00lt tlt 00

第二章习题

习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成:

式中,是一个离散随机变量,它具有如下概率分布:P(=0)=0.5,P(=/2)=0.5

试求E[X(t)]和。

解:E[X(t)]=P(=0)2+P(=/2)

习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成:

判断它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解:为功率信号。

习题2.3 设有一信号可表示为:

试问它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解:它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为:

则能量谱密度 G(f)==

习题2.4 X(t)=,它是一个随机过程,其中和是相互统计独立的高斯随机变量,数学期望均为0,方差均为。试求:

(1)E[X(t)],E[];(2)X(t) 的概率分布密度;(3)

解:(1)

因为相互独立,所以。

又因为,,所以。

故

(2)因为服从高斯分布,的线性组合,所以也服从高斯分布,其概率分布函数。

(3)

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件:

(1); (2); (3)

解:根据功率谱密度P(f)的性质:①P(f),非负性;②P(-f)=P(f) ,偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件,(2)不满足。

习题2.6 试求X(t)=A的自相关函数,并根据其自相关函数求出其功率。

解:R(t,t+)=E[X(t)X(t+)] =

功率P=R(0)=

习题2.7 设和是两个统计独立的平稳随机过程,其自相关函数分别为。试求其乘积X(t)=的自相关函数。

解:(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[]

==

习题2.8 设随机过程X(t)=m(t),其中m(t)是广义平稳随机过程,且其自相关函数为

(1)试画出自相关函数的曲线;(2)试求出X(t)的功率谱密度和功率P。

解:(1)

其波形如图2-1所示。

图2-1信号波形图

(2)因为广义平稳,所以其功率谱密度。由图2-8可见,的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积,因此

习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。试求此信号的自相关函数。

解:x(t)的能量谱密度为G(f)==

其自相关函数

习题2.10 已知噪声的自相关函数,k为常数。

(1)试求其功率谱密度函数和功率P;(2)画出和的曲线。

解:(1)

(2)和的曲线如图2-2所示。

图2-2

习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:

试求X(t)的功率谱密度并画出其曲线。

解:详见例2-12

习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为

试求其平均功率。

解:

习题2.13 设输入信号 ,将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器(见图2-3)上,RC=。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解:高通滤波器的系统函数为

H(f)=

输入信号的傅里叶变换为

X(f)=

输出信号y(t)的能量谱密度为

习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端,得到的输出信号为y(t)=式中,为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).

解:输出信号的傅里叶变换为Y(f)=,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j

习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时,试求输出功率谱密度和自相关函数。

解:参考例2-10

习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时,试求

(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。

解:(1)LC低通滤波器的系统函数为

H(f)=

输出过程的功率谱密度为

对功率谱密度做傅立叶反变换,可得自相关函数为

(2) 输出亦是高斯过程,因此

习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声,当输入一个均值为0、双边功率谱密度为 的白噪声时,试求输出噪声的概率密度。

解:高斯白噪声通过低通滤波器,输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 ,

所以输出噪声的概率密度函数

习题2.18设随机过程可表示成,式中是一个离散随变量,且,试求及。

解:

习题2.19设是一随机过程,若和是彼此独立且具有均值为 0、方差为的正态随机变量,试求:

(1)、;

(2)的一维分布密度函数;

(3)和。

解:

(1)

因为和是彼此独立的正态随机变量,和是彼此互不相关,所以

又;

同理

代入可得

(2)

由=0; 又因为是高斯分布

可得

(3)

令

习题2.20求乘积的自相关函数。已知与是统计独立的平稳随机过程,且它们的自相关函数分别为、。

解:

因与是统计独立,故

习题2.21若随机过程,其中是宽平稳随机过程,且自相关函数为 是服从均匀分布的随机变量,它与彼此统计独立。

(1) 证明是宽平稳的;

(2) 绘出自相关函数的波形;

(3) 求功率谱密度及功率S 。

解:

(1)是宽平稳的为常数;

只与有关:

令

所以只与有关,证毕。

(2)波形略;

而的波形为

可以对求两次导数,再利用付氏变换的性质求出的付氏变换。

功率S:

习题2.22已知噪声的自相关函数,a为常数: 求和S;

解:

因为

所以

习题2.23是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间(-1,1)上,该自相关函数。试求的功率谱密度 。

解:见第2. 4 题

因为 所以

据付氏变换的性质可得

而

故

习题2.24将一个均值为 0,功率谱密度为为的高斯白噪声加到一个中心角频率为、带宽为B的理想带通滤波器上,如图

(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数;

(2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。

解:

(1)

因为,故

又

由 付氏变换的性质

可得

(2);;

所以

又因为输出噪声分布为高斯分布

可得输出噪声分布函数为

习题2.25设有RC低通滤波器,求当输入均值为 0,功率谱密度为的白噪声时,输出过程的功率谱密度和自相关函数。

解:

(1)

(2) 因为

所以

习题2.26将均值为0,功率谱密度为高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,

(1) 求输出噪声的自相关函数;

(2) 求输出噪声的方差。

解:

(1)

(2) ;

习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形,它的每个脉冲的持续时为,脉冲幅度取的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关,且过程具有宽平稳性,试证:

(1) 自相关函数

(2) 功率谱密度。

解:

(1)

①当时,与无关,故=0

②当时,因脉冲幅度取的概率相等,所以在内,该波形取-1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为。

A. 波形取-1-1、11 时,
B.
C. 在图示的一个间隔内,
D. 波形取-1 1、1 -1 时,
E.
F. 在图示的一个间隔内,
G. 当时,
故
(2)
,其中为时域波形的面积。所以。
习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器,若输入过程,是平稳的,求与的互功率谱密度的表示式。(提示:互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对)
解:



所以
令

习题2.29若是平稳随机过程,自相关函数为,试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。
解:




习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0,功率谱密度为的高斯白噪声,试求输出过程的一维概率密度函数。
解:
;

又因为输出过程为高斯过程,所以其一维概率密度函数为