长江中游某河段平均水深h=25(m)，水力坡降J=0.8/10000，黄河下游某河段平均水深h=1.6(m)，水力坡降J=2/10000，泥沙粒径分别为D=5.0(mm)、0.5(mm)、0.05(mm)，分别求其临界shields数、临界起动剪切应力和临界起动剪切流速，判断哪些颗粒起动？（v=0.01(cm)^2/(s)）

本题主要考察了临界Shields数、临界起动剪切应力和临界起动剪切流速的计算，以及根据这些参数判断泥沙颗粒是否起动的知识。解题思路如下：

1. 首先根据公式计算长江中游和黄河下游河段的剪切应力 $\tau$。
2. 然后根据泥沙粒径 $D$ 计算对应的临界Shields数 $\tau^*$。
3. 接着利用临界Shields数和剪切应力计算临界起动剪切应力 $\tau_c$。
4. 再根据临界起动剪切应力计算临界起动剪切流速 $u^*$。
5. 最后比较实际剪切应力和临界起动剪切应力的大小，判断泥沙颗粒是否起动。

1. 计算长江中游和黄河下游河段的剪切应力 $\tau$

根据公式 $\tau = \rho g h J$，其中 $\rho$ 为水的密度，取 $\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$，$g$ 为重力加速度，取 $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$，$h$ 为平均水深，$J$ 为水力坡降。

• 长江中游：
  已知 $h = 25 \, \text{m}$，$J = 0.8/10000$，则
  $\begin{align*}\tau_{长江} &= \rho g h J\\&= 1000 \times 9.8 \times 25 \times \frac{0.8}{10000}\\&= 19.62 \, \text{Pa}\end{align*}$
• 黄河下游：
  已知 $h = 1.6 \, \text{m}$，$J = 2/10000$，则
  $\begin{align*}\tau_{黄河} &= \rho g h J\\&= 1000 \times 9.8 \times 1.6 \times \frac{2}{10000}\\&= 3.14 \, \text{Pa}\end{align*}$

2. 计算不同泥沙粒径对应的临界Shields数 $\tau^*$

根据经验公式，对于不同粒径的泥沙，临界Shields数 $\tau^*$ 分别为：

• 当 $D = 5.0 \, \text{mm}$ 时，$\tau^* = 0.06$；
• 当 $D = 0.5 \, \text{mm}$ 时，$\tau^* = 0.03$；
• 当 $D = 0.05 \, \text{mm}$ 时，$\tau^* = 0.01$。

3. 计算临界起动剪切应力 $\tau_c$

根据公式 $\tau_c = \tau^* \rho g D$，分别计算不同粒径泥沙的临界起动剪切应力。

• 长江中游：
  • 当 $D = 5.0 \, \text{mm} = 0.005 \, \text{m}$ 时，
    $\begin{align*}\tau_{c1} &= \tau^* \rho g D\\&= 0.06 \times 1000 \times 9.8 \times 0.005\\&= 4.865 \, \text{Pa}\end{align*}$
  • 当 $D = 0.5 \, \text{mm} = 0.0005 \, \text{m}$ 时，
    $\begin{align*}\tau_{c2} &= \tau^* \rho g D\\&= 0.03 \times 1000 \times 9.8 \times 0.0005\\&= 0.243 \, \text{Pa}\end{align*}$
  • 当 $D = 0.05 \, \text{mm} = 0.00005 \, \text{m}$ 时，
    $\begin{align*}\tau_{c3} &= \tau^* \rho g D\\&= 0.01 \times 1000 \times 9.8 \times 0.00005\\&= 0.0081 \, \text{Pa}\end{align*}$
• 黄河下游：
  同理可得，不同粒径泥沙的临界起动剪切应力与长江中游相同，即 $\tau_{c1} = 4.865 \, \text{Pa}$，$\tau_{c2} = 0.243 \, \text{Pa}$，$\tau_{c3} = 0.0081 \, \text{Pa}$。

4. 计算临界起动剪切流速 $u^*$

根据公式 $\tau_c = \rho u^{*2}$，可得 $u^* = \sqrt{\frac{\tau_c}{\rho}}$。

• 长江中游：
  • 当 $D = 5.0 \, \text{mm}$ 时，
    $\begin{align*}u_{1}^* &= \sqrt{\frac{\tau_{c1}}{\rho}}\\&= \sqrt{\frac{4.865}{1000}}\\&\approx 0.0697 \, \text{m/s}\end{align*}$
  • 当 $D = 0.5 \, \text{mm}$ 时，
    $\begin{align*}u_{2}^* &= \sqrt{\frac{\tau_{c2}}{\rho}}\\&= \sqrt{\frac{0.243}{1000}}\\&\approx 0.0156 \, \text{m/s}\end{align*}$
  • 当 $D = 0.05 \, \text{mm}$ 时，
    $\begin{align*}u_{3}^* &= \sqrt{\frac{\tau_{c3}}{\rho}}\\&= \sqrt{\frac{0.0081}{1000}}\\&\approx 0.00285 \, \text{m/s}\end{align*}$
• 黄河下游：
  同理可得，不同粒径泥沙的临界起动剪切流速与长江中游相同，即 $u_{1}^* \approx 0.0697 \, \text{m/s}$，$u_{2}^* \approx 0.0156 \, \text{m/s}$，$u_{3}^* \approx 0.00285 \, \text{m/s}$。

5. 判断泥沙颗粒是否起动

比较实际剪切应力 $\tau$ 和临界起动剪切应力 $\tau_c$ 的大小：

• 长江中游：
  • 当 $D = 5.0 \, \text{mm}$ 时，$\tau_{长江} = 19.62 \, \text{Pa} > \tau_{c1} = 4.865 \, \text{Pa}$，颗粒起动；
  • 当 $D = 0.5 \, \text{mm}$ 时，$\tau_{长江} = 19.62 \, \text{Pa} > \tau_{c2} = 0.243 \, \text{Pa}$，颗粒起动；
  • 当 $D = 0.05 \, \text{mm}$ 时，$\tau_{长江} = 19.62 \, \text{Pa} > \tau_{c3} = 0.0081 \, \text{Pa}$，颗粒起动。
    所以长江中游所有粒径的颗粒均起动。
• 黄河下游：
  • 当 $D = 5.0 \, \text{mm}$ 时，$\tau_{黄河} = 3.14 \, \text{Pa} < \tau_{c1} = 4.865 \, \text{Pa}$，颗粒不起动；
  • 当 $D = 0.5 \, \text{mm}$ 时，$\tau_{黄河} = 3.14 \, \text{Pa} > \tau_{c2} = 0.243 \, \text{Pa}$，颗粒起动；
  • 当 $D = 0.05 \, \text{mm}$ 时，$\tau_{黄河} = 3.14 \, \text{Pa} > \tau_{c3} = 0.0081 \, \text{Pa}$，颗粒起动。
    所以黄河下游 $D = 0.5 \, \text{mm}$ 和 $D = 0.05 \, \text{mm}$ 的颗粒起动，$D = 5.0 \, \text{mm}$ 的颗粒不起动。