题目

已知偏心受压柱的轴向力设计值 N=800mathrm(kN)，杆端弯矩设计值 M_(1)=0.6M_(2)，M_(2)=160mathrm(kN)cdotmathrm(m)；截面尺寸 b=300mathrm(mm)，h=500mathrm(mm)，a_(mathrm{s)}=a_(mathrm{s)}'=40mathrm(mm)；混凝土强度等级为 C30，采用 HRB400 级钢筋；计算长度 l_(mathrm{c)}=l_(0)=2.8mathrm(m)。求钢筋截面面积 A_(mathrm{s)}' 及 A_(mathrm{s)}。

已知偏心受压柱的轴向力设计值 $N=800\mathrm{kN}$，杆端弯矩设计值 $M_{1}=0.6M_{2}$，$M_{2}=160\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$；截面尺寸 $b=300\mathrm{mm}$，$h=500\mathrm{mm}$，$a_{\mathrm{s}}=a_{\mathrm{s}}'=40\mathrm{mm}$；混凝土强度等级为 C30，采用 HRB400 级钢筋；计算长度 $l_{\mathrm{c}}=l_{0}=2.8\mathrm{m}$。求钢筋截面面积 $A_{\mathrm{s}}'$ 及 $A_{\mathrm{s}}$。

题目解答

答案

根据题目条件，$ e_0 = 200 \, \text{mm} $，$ e_i = 220 \, \text{mm} $，$ \eta \approx 1.0 $，$ e = 430 \, \text{mm} $。 由 $ N = 800 \, \text{kN} $，$ x = \frac{N}{f_c b} = \frac{800 \times 10^3}{14.3 \times 300} \approx 186.5 \, \text{mm} $，$ \xi = 0.405 < \xi_b = 0.518 $，属大偏心受压。 根据平衡方程： \[ N e = f_c b x (h_0 - 0.5x) + f_y' A_s' (h_0 - a_s') \] \[ 344 \times 10^6 = 4290 \times 186.5 \times 366.75 + 151,200 A_s' \] 解得 $ A_s' = A_s \approx 334 \, \text{mm}^2 $。 答案：$ A_s = A_s' \approx 334 \, \text{mm}^2 $。

解析

本题考查偏心受压柱钢筋截面面积的计算，解题思路如下：

  1. 计算杆端弯矩设计值：已知$M_{2}=160\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$，$M_{1}=0.6M_{2}$，可计算出$M_{1}$的值，进而得到$M=\frac{M_{1} + M_{2}}{2}$。
  2. 计算初始偏心距$e_{0}$：根据公式$e_{0}=\frac{M}{N}$计算。
  3. 计算偏心距增大系数$\eta$：先计算长细比$\frac{l_{0}}{h}=\frac{2800}{500}=5.6$，再根据相关表格或公式确定$\eta$的值。
  4. 计算轴向力作用点至截面重心的距离$e$：$e=\eta e_{0}+y_{s}$，其中$y_{s}=h_{0}-\frac{h}{2}$，$h_{0}=h - a_{s}=500 - 40 = 460\mathrm{mm}$。
  5. 判断偏心类型：计算$x=\frac{N}{f_{c}b}$，并与$\xi_{b}h_{0}$比较，判断是大偏心受压还是小偏心受压。
  6. 计算钢筋截面面积$A_{s}'$及$A_{s}$：根据大偏心受压的平衡方程$N e = f_{c}b x (h_{0}-\frac{x}{2})+f_{y}'A_{s}'(h_{0}-a_{s}')$计算$A_{s}'$，再根据$\sum N = 0$计算$A_{s}$。

下面进行详细计算：

  1. 计算杆端弯矩设计值：
    • $M_{1}=0.6M_{2}=0.6\times160 = 96\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$
    • $M=\frac{M_{1} + M_{2}}{2}=\frac{96 + 160}{2}=128\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$
  2. 计算初始偏心距$e_{0}$：
    • $e_{0}=\frac{M}{N}=\frac{128\times10^{6}}{800\times10^{3}} = 160\mathrm{mm}$
  3. 计算偏心距增大系数$\eta$：
    • 长细比$\frac{l_{0}}{h}=\frac{2800}{500}=5.6$，查相关表格或根据公式可得$\eta\approx1.0$。
  4. 计算轴向力作用点至截面重心的距离$e$：
    • $h_{0}=h - a_{s}=500 - 40 = 460\mathrm{mm}$
    • $y_{s}=h_{0}-\frac{h}{2}=460-\frac{500}{2}=210\mathrm{mm}$
    • $e=\eta e_{0}+y_{s}=1.0\times160 + 210 = 370\mathrm{mm}$
  5. 判断偏心类型：
    • 已知$f_{c}=14.3\mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}$，$b = 300\mathrm{mm}$，$N = 800\times10^{3}\mathrm{N}$，则$x=\frac{N}{f_{c}b}=\frac{800\times10^{3}}{14.3\times300}\approx186.5\mathrm{mm}$。
    • 对于 HRB400 级钢筋，$\xi_{b}=0.518$，$\xi_{b}h_{0}=0.518\times460 = 238.28\mathrm{mm}$，因为$x = 186.5\mathrm{mm}<\xi_{b}h_{0}=238.28\mathrm{mm}$，所以属大偏心受压。
  6. 计算钢筋截面面积$A_{s}'$及$A_{s}$：
    • 已知$f_{y}'=360\mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}$，$a_{s}' = 40\mathrm{mm}$，代入大偏心受压的平衡方程$N e = f_{c}b x (h_{0}-\frac{x}{2})+f_{y}'A_{s}'(h_{0}-a_{s}')$可得：
      $\begin{align*}800\times10^{3}\times370&=14.3\times300\times186.5\times(460-\frac{186.5}{2})+360\times A_{s}'\times(460 - 40)\\296\times10^{6}&=14.3\times300\times186.5\times366.75+360\times A_{s}'\times420\\296\times10^{6}&=292344412.5+151200A_{s}'\\151200A_{s}'&=296\times10^{6}-292344412.5\\151200A_{s}'&=3655587.5\\A_{s}'&\approx24.2\mathrm{mm}^{2}\end{align*}$
    • 根据$\sum N = 0$，$N = f_{c}b x + f_{y}'A_{s}'-f_{y}A_{s}$，因为$A_{s}'$较小，可近似认为$A_{s}\approx A_{s}'\approx24.2\mathrm{mm}^{2}$，但考虑构造要求等因素，实际取值应满足规范要求，这里按答案思路计算。