2-11 已知梁AB上作用一力偶,力偶矩为M,梁长为l,梁重不计。试求在图a、b、-|||-c三种情况下,支座A和B的约束力。-|||-1/2 M M-|||-1/3-|||-A B A B-|||-1-|||-(a) (b)-|||-1/2-|||-M-|||-A B-|||-θ-|||-1-|||-(c)-|||-题 2-11 图

考查要点：本题主要考查力偶的性质及静力学平衡方程的应用。关键在于理解力偶对刚体的作用效应仅与其力偶矩的大小和转向有关，而与作用位置无关，并正确建立平衡方程。

解题核心思路：

1. 力偶的等效性：力偶对刚体的作用效果仅由力偶矩决定，与作用位置无关。
2. 平衡条件：刚体平衡时，支座的约束力需满足ΣF=0（合力为零）和ΣM=0（合力矩为零）。
3. 对称性分析：对于对称结构，可利用对称性简化计算。

破题关键点：

• 确定力偶矩的作用线位置：不同位置的力偶矩会导致支座反力的计算方式不同。
• 正确选取平衡方程：根据力偶矩的方向和支座位置，选择适当的支座作为矩心建立力矩平衡方程。

情况(a)

力偶作用在梁的中点，力偶矩方向垂直于梁的轴线：

1. 对称性分析：由于梁对称，支座A和B的约束力大小相等（$F_A = F_B$）。
2. 力矩平衡方程：以支座A为矩心，总力矩为零：
   $M - F_B \cdot l = 0 \implies F_B = \frac{M}{l}$
   因此，$F_A = F_B = \frac{M}{l}$。

情况(b)

力偶作用在梁的中点，力偶矩方向与情况(a)相同：

1. 对称性分析：与情况(a)类似，支座约束力仍满足$F_A = F_B$。
2. 力矩平衡方程：以支座A为矩心，总力矩为零：
   $M - F_B \cdot l = 0 \implies F_B = \frac{M}{l}$
   因此，$F_A = F_B = \frac{M}{l}$。

情况(c)

力偶作用在梁的中点，力偶矩与梁的轴线成夹角θ：

1. 有效力臂计算：力偶矩的垂直分量为$M \cos\theta$，有效力臂为$l \cos\theta$。
2. 力矩平衡方程：以支座A为矩心，总力矩为零：
   $M \cos\theta - F_B \cdot l = 0 \implies F_B = \frac{M \cos\theta}{l}$
   因此，$F_A = F_B = \frac{M}{l \cos\theta}$。