2.11 某水池内有 1m^3 含总氮20mg/L的污水，现用地表水进行置换，地表水进入水池10m^3/min，总氮含量为2mg/L，同时从水池中排出相同的水量。假设水池内混合良好，生物降解忽略，求水池中总氮含量变为5mg/L时，需要多少时间？

考查要点：本题属于动态混合问题，考查利用微分方程解决浓度随时间变化的实际应用能力。核心在于建立质量守恒方程，分析进出水的氮浓度变化率。

解题思路：

1. 确定体积恒定：进水与出水流量相同，水池体积始终保持$1\ \text{m}^3$。
2. 建立微分方程：根据单位时间内氮的质量变化，即进入量减去排出量，得到$\frac{d\rho}{dt} = 10(2 - \rho)$。
3. 求解微分方程：通过分离变量积分，结合初始条件$\rho(0)=20$，得到浓度随时间的表达式。
4. 求特定浓度时间：将$\rho=5$代入表达式，解指数方程求得时间。

关键点：正确建立微分方程并处理指数方程是解题的核心。

建立微分方程

水池体积恒为$1\ \text{m}^3$，设时间$t$时总氮浓度为$\rho(t)$。

• 进入氮速率：地表水流量$10\ \text{m}^3/\text{min}$，浓度$2\ \text{mg/L}$，故进入速率为$10 \times 2 = 20\ \text{mg/min}$。
• 排出氮速率：排出流量$10\ \text{m}^3/\text{min}$，浓度$\rho(t)$，故排出速率为$10 \times \rho = 10\rho\ \text{mg/min}$。
• 质量守恒：总氮质量变化率为进入量减去排出量，即：
  $\frac{d\rho}{dt} = 20 - 10\rho = 10(2 - \rho)$

解微分方程

分离变量并积分：
$\frac{d\rho}{2 - \rho} = 10 dt$
积分得：
$-\ln|2 - \rho| = 10t + C$
整理为指数形式：
$2 - \rho = Ce^{-10t}$
代入初始条件$\rho(0)=20$：
$2 - 20 = Ce^{0} \implies C = -18$
因此浓度表达式为：
$\rho(t) = 2 + 18e^{-10t}$

求时间$t$使$\rho=5$

令$\rho=5$：
$5 = 2 + 18e^{-10t} \implies 18e^{-10t} = 3 \implies e^{-10t} = \frac{1}{6}$
取自然对数：
$-10t = \ln\left(\frac{1}{6}\right) \implies t = \frac{\ln 6}{10}$
计算得：
$t \approx \frac{1.7918}{10} \approx 0.18\ \text{min}$