设超市经销的某种商品,每周的需求量X(单位:件)在[31，50]中等可能取值.超市每销售一件该商品可获利100元,若供大于求,则削价处理,每处理一件商品亏损20元;若供不应求,则可以另外调货,此时一件商品可获利60元.试问,每周周初进货量为多少件时,才能使得一周内超市销售该商品获得的平均利润达到最大

计算利润

销售利润：每件商品的销售利润为 100 元。

过剩亏损：若供大于求，处理过剩商品的亏损为 20 元每件。

缺货额外利润：若供不应求，额外调货利润为 60 元每件。

我们需要计算以下两种情况的平均利润：

当  时：

销售利润 = ( 100X ) 元

处理亏损 = ( 20(Q - X) ) 元

总利润 = ( 100X - 20(Q - X) = 120X - 20Q )

当 ( X > Q ) 时：

销售利润 = ( 100Q ) 元

额外调货利润 = ( 60(X - Q) ) 元

总利润 = ( 100Q + 60(X - Q) = 60X + 40Q )

计算期望利润

需求量 ( X ) 在 ([31, 50]) 区间均匀分布，其概率密度函数为期望值和积分可以用于计算平均利润。

1. 当时：

总利润

2. 当 ( Q > 31 ) 时：

总利润

对每种情况进行积分：

对于 的情况：

对于 ( Q > 31 ) 的情况：

解的最优的进货量 ( Q ) 使得平均利润最大。可以得出在给定需求量区间内，每周初进货量 ( Q = 40 ) 件时，超市的平均利润达到最大。