由以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果:被诊断者有癌症,试验反应为阳性的概率为0.95;被诊断者没有癌症,试验反应为阴性的概率为0.95现对自然人群进行普查,设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005,求:已知试验反应为阳性,该被诊断者确有癌症的概率.

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。关键在于正确识别题目中的各个概率关系，并将其代入贝叶斯公式中。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设A为“患有癌症”，B为“试验反应为阳性”。
2. 提取已知条件：
   • P(A) = 0.005（癌症发病率）
   • P(B|A) = 0.95（真阳性率）
   • P(阴性|非A) = 0.95 → P(B|非A) = 1 - 0.95 = 0.05（假阳性率）
3. 应用贝叶斯公式：通过全概率公式计算分母，最终得到后验概率P(A|B)。

破题关键点：

• 区分真阳性与假阳性：注意题目中“没有癌症时阴性概率为0.95”隐含了假阳性率的计算。
• 小概率事件的影响：癌症发病率低（0.005）会导致即使检测准确率高，阳性结果中真阳性比例仍较低。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设A表示“患有癌症”，$\overline{A}$表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”。
• 已知：
  $P(A) = 0.005, \quad P(\overline{A}) = 1 - 0.005 = 0.995$
  $P(B|A) = 0.95, \quad P(\text{阴性}|\overline{A}) = 0.95 \implies P(B|\overline{A}) = 1 - 0.95 = 0.05$

步骤2：应用贝叶斯公式
目标概率为：
$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})}$

步骤3：代入数值计算

• 分子：
  $P(A)P(B|A) = 0.005 \times 0.95 = 0.00475$
• 分母：
  $P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.00475 + 0.995 \times 0.05 = 0.00475 + 0.04975 = 0.0545$
• 最终结果：
  $P(A|B) = \frac{0.00475}{0.0545} \approx 0.087$