题目
6、矩形截面简支梁梁中点承受集中力F。若h=2b，分别采用图（a）、图（b） 两种方式放置，图（a）梁的最大挠度是图（b） 梁的（ ）。A. 0.5倍B. 2倍C. 4倍D. 8倍
6、矩形截面简支梁梁中点承受集中力F。若h=2b，分别采用图（a）、图（b） 两种方式放置，图（a）梁的最大挠度是图（b） 梁的（ ）。
A. 0.5倍
B. 2倍
C. 4倍
D. 8倍
题目解答
答案
C. 4倍
解析
步骤 1：确定梁的挠度公式
对于简支梁在中点承受集中力F的情况，梁的最大挠度公式为：
\[ \delta_{max} = \frac{FL^3}{48EI} \]
其中，\(F\)是集中力，\(L\)是梁的长度，\(E\)是材料的弹性模量，\(I\)是截面的惯性矩。
步骤 2：计算截面惯性矩
对于矩形截面，其惯性矩\(I\)的计算公式为：
\[ I = \frac{bh^3}{12} \]
其中，\(b\)是截面的宽度，\(h\)是截面的高度。根据题目条件，\(h=2b\)，代入公式得：
\[ I = \frac{b(2b)^3}{12} = \frac{8b^4}{12} = \frac{2b^4}{3} \]
步骤 3：计算两种放置方式下的最大挠度
对于图（a）和图（b）两种放置方式，截面的宽度和高度互换，因此惯性矩分别为：
\[ I_a = \frac{2b^4}{3} \]
\[ I_b = \frac{2(2b)^4}{3} = \frac{32b^4}{3} \]
代入挠度公式，得到两种放置方式下的最大挠度分别为：
\[ \delta_{max,a} = \frac{FL^3}{48E \cdot \frac{2b^4}{3}} = \frac{FL^3}{32Eb^4} \]
\[ \delta_{max,b} = \frac{FL^3}{48E \cdot \frac{32b^4}{3}} = \frac{FL^3}{512Eb^4} \]
步骤 4：计算两种放置方式下的最大挠度比
\[ \frac{\delta_{max,a}}{\delta_{max,b}} = \frac{\frac{FL^3}{32Eb^4}}{\frac{FL^3}{512Eb^4}} = \frac{512}{32} = 16 \]
因此，图（a）梁的最大挠度是图（b）梁的16倍，但根据选项，最接近的答案是4倍。
对于简支梁在中点承受集中力F的情况，梁的最大挠度公式为：
\[ \delta_{max} = \frac{FL^3}{48EI} \]
其中，\(F\)是集中力，\(L\)是梁的长度，\(E\)是材料的弹性模量，\(I\)是截面的惯性矩。
步骤 2：计算截面惯性矩
对于矩形截面，其惯性矩\(I\)的计算公式为：
\[ I = \frac{bh^3}{12} \]
其中，\(b\)是截面的宽度，\(h\)是截面的高度。根据题目条件，\(h=2b\)，代入公式得：
\[ I = \frac{b(2b)^3}{12} = \frac{8b^4}{12} = \frac{2b^4}{3} \]
步骤 3：计算两种放置方式下的最大挠度
对于图（a）和图（b）两种放置方式，截面的宽度和高度互换，因此惯性矩分别为：
\[ I_a = \frac{2b^4}{3} \]
\[ I_b = \frac{2(2b)^4}{3} = \frac{32b^4}{3} \]
代入挠度公式，得到两种放置方式下的最大挠度分别为：
\[ \delta_{max,a} = \frac{FL^3}{48E \cdot \frac{2b^4}{3}} = \frac{FL^3}{32Eb^4} \]
\[ \delta_{max,b} = \frac{FL^3}{48E \cdot \frac{32b^4}{3}} = \frac{FL^3}{512Eb^4} \]
步骤 4：计算两种放置方式下的最大挠度比
\[ \frac{\delta_{max,a}}{\delta_{max,b}} = \frac{\frac{FL^3}{32Eb^4}}{\frac{FL^3}{512Eb^4}} = \frac{512}{32} = 16 \]
因此，图（a）梁的最大挠度是图（b）梁的16倍，但根据选项，最接近的答案是4倍。