1-22在距我方前沿阵地1000m远处,有一座高50m的山丘,山上建有敌方一座碉堡求我方大炮在什么角度下以最小的速度发射炮弹就能摧毁敌军的这座碉堡?发射角度O(")习题1-22图习题1-22解图

考查要点：本题主要考查抛体运动的轨迹方程及极值问题的应用，需要结合物理运动学公式与数学优化方法。

解题核心思路：

1. 建立炮弹的水平和竖直运动方程，消去时间参数$t$，得到轨迹方程。
2. 代入目标点坐标$(1000\,\text{m}, 50\,\text{m})$，得到发射速度$v_0$与发射角度$\theta$的关系式。
3. 对$v_0$关于$\theta$求导并令导数为零，找到使$v_0$最小的角度$\theta$。
4. 由于方程为超越方程，需通过数值方法或图像法近似求解。

破题关键点：

• 消去时间$t$，将运动方程转化为轨迹方程。
• 构造$v_0$的表达式，并对其求导找极值。
• 理解最小速度对应轨迹刚好经过目标点的物理意义。

1. 建立运动方程

炮弹的水平和竖直运动方程分别为：
$x = v_0 \cos\theta \cdot t \quad (1)$
$y = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \quad (2)$
其中$g=9.8\,\text{m/s}^2$。

2. 消去时间$t$

由方程$(1)$得：
$t = \frac{x}{v_0 \cos\theta}$
将$t$代入方程$(2)$，消去时间参数：
$y = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}$

3. 代入目标点坐标

目标点$(1000\,\text{m}, 50\,\text{m})$代入方程：
$50 = 1000 \tan\theta - \frac{9.8 \cdot 1000^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}$
整理得：
$v_0^2 = \frac{9.8 \cdot 1000^2}{2 \cos^2\theta \cdot (1000 \tan\theta - 50)}$
$v_0 = \frac{1000 \sqrt{9.8}}{\sqrt{2 \cos^2\theta \cdot (1000 \tan\theta - 50)}}$

4. 求导找极值

对$v_0$关于$\theta$求导，令导数为零，解方程：
$\frac{d v_0}{d\theta} = 0$
此方程为超越方程，无法解析求解，需通过数值方法或图像法近似求解。通过编程绘制$v_0$随$\theta$变化的曲线，可得：

• 最小速度$v_0 \approx 101.5\,\text{m/s}$对应发射角度$\theta \approx 46.4^\circ$。