题目
受集度为q的均布荷载作用的矩形截面简支梁,其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为-|||-alpha =(30)^circ , 如图所示。已知该梁材料的弹性模量 =10GPa; 梁的尺寸为 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_18e58f7e89ef1574d242ceff6d06f0d5.jpg=4m, =160mm,-|||-=120mm; 许用应力 [ o] =12MPa; 许可挠度 [ w] =dfrac (1)(150) 试校核梁的强度和刚度。-|||-b-|||-q =2kN/m-|||-T-|||-1 一-|||-0 z-|||-q 30°-|||-y
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算梁在荷载作用下的最大弯矩
梁在均布荷载作用下的最大弯矩为 ${M}_{max}=\dfrac {1}{8}q{l}^{2}$，其中 $q$ 为均布荷载集度，$l$ 为梁的长度。由于荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 ${30}^{\circ }$，因此需要将荷载分解为垂直于梁的纵向对称面的分量，即 $q\cos {30}^{\circ }$ 和平行于梁的纵向对称面的分量，即 $q\sin {30}^{\circ }$。因此，最大弯矩为 ${M}_{max}=\dfrac {1}{8}q\cos {30}^{\circ }{l}^{2}$ 和 ${M}_{max}=\dfrac {1}{8}q\sin {30}^{\circ }{l}^{2}$。
步骤 2：计算梁的截面模量
梁的截面模量为 ${W}_{z}=\dfrac {bh^{2}}{6}$，其中 $b$ 为梁的宽度，$h$ 为梁的高度。因此，梁的截面模量为 ${W}_{z}=\dfrac {120\times {160}^{2}}{6}$。
步骤 3：计算梁的最大应力
梁的最大应力为 ${\sigma }_{max}=\dfrac {{M}_{max}}{W_{z}}$。将步骤 1 和步骤 2 中的计算结果代入，得到 ${\sigma }_{max}=\dfrac {\dfrac {1}{8}q\cos {30}^{\circ }{l}^{2}}{\dfrac {bh^{2}}{6}}$ 和 ${\sigma }_{max}=\dfrac {\dfrac {1}{8}q\sin {30}^{\circ }{l}^{2}}{\dfrac {bh^{2}}{6}}$。将 $q=2kN/m$，$l=4m$，$b=120mm$，$h=160mm$ 代入，得到 ${\sigma }_{max}=\dfrac {\dfrac {1}{8}\times 2\times {10}^{3}\times \cos {30}^{\circ }\times {4}^{2}}{\dfrac {120\times {160}^{2}}{6}}$ 和 ${\sigma }_{max}=\dfrac {\dfrac {1}{8}\times 2\times {10}^{3}\times \sin {30}^{\circ }\times {4}^{2}}{\dfrac {120\times {160}^{2}}{6}}$。计算得到 ${\sigma }_{max}=119MPa$。
步骤 4：计算梁的最大挠度
梁的最大挠度为 ${\omega }_{max}=\dfrac {5q{l}^{4}}{384EI}$，其中 $E$ 为梁的弹性模量，$I$ 为梁的截面惯性矩。将 $q=2kN/m$，$l=4m$，$E=10GPa$，$I=\dfrac {bh^{3}}{12}$ 代入，得到 ${\omega }_{max}=\dfrac {5\times 2\times {10}^{3}\times {4}^{4}}{384\times 10\times {10}^{9}\times \dfrac {120\times {160}^{3}}{12}}$。计算得到 ${\omega }_{max}=0.0202m$。
步骤 5：校核梁的强度和刚度
将步骤 3 中计算得到的最大应力 ${\sigma }_{max}=119MPa$ 与许用应力 $[ o] =12MPa$ 比较，得到 ${\sigma }_{max}\lt [ o]$，因此梁的强度安全。将步骤 4 中计算得到的最大挠度 ${\omega }_{max}=0.0202m$ 与许可挠度 $[ w] =\dfrac {4}{150}m$ 比较，得到 ${\omega }_{max}\lt [ w]$，因此梁的刚度安全。
梁在均布荷载作用下的最大弯矩为 ${M}_{max}=\dfrac {1}{8}q{l}^{2}$，其中 $q$ 为均布荷载集度，$l$ 为梁的长度。由于荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 ${30}^{\circ }$，因此需要将荷载分解为垂直于梁的纵向对称面的分量，即 $q\cos {30}^{\circ }$ 和平行于梁的纵向对称面的分量，即 $q\sin {30}^{\circ }$。因此，最大弯矩为 ${M}_{max}=\dfrac {1}{8}q\cos {30}^{\circ }{l}^{2}$ 和 ${M}_{max}=\dfrac {1}{8}q\sin {30}^{\circ }{l}^{2}$。
步骤 2：计算梁的截面模量
梁的截面模量为 ${W}_{z}=\dfrac {bh^{2}}{6}$，其中 $b$ 为梁的宽度，$h$ 为梁的高度。因此，梁的截面模量为 ${W}_{z}=\dfrac {120\times {160}^{2}}{6}$。
步骤 3：计算梁的最大应力
梁的最大应力为 ${\sigma }_{max}=\dfrac {{M}_{max}}{W_{z}}$。将步骤 1 和步骤 2 中的计算结果代入，得到 ${\sigma }_{max}=\dfrac {\dfrac {1}{8}q\cos {30}^{\circ }{l}^{2}}{\dfrac {bh^{2}}{6}}$ 和 ${\sigma }_{max}=\dfrac {\dfrac {1}{8}q\sin {30}^{\circ }{l}^{2}}{\dfrac {bh^{2}}{6}}$。将 $q=2kN/m$，$l=4m$，$b=120mm$，$h=160mm$ 代入，得到 ${\sigma }_{max}=\dfrac {\dfrac {1}{8}\times 2\times {10}^{3}\times \cos {30}^{\circ }\times {4}^{2}}{\dfrac {120\times {160}^{2}}{6}}$ 和 ${\sigma }_{max}=\dfrac {\dfrac {1}{8}\times 2\times {10}^{3}\times \sin {30}^{\circ }\times {4}^{2}}{\dfrac {120\times {160}^{2}}{6}}$。计算得到 ${\sigma }_{max}=119MPa$。
步骤 4：计算梁的最大挠度
梁的最大挠度为 ${\omega }_{max}=\dfrac {5q{l}^{4}}{384EI}$，其中 $E$ 为梁的弹性模量，$I$ 为梁的截面惯性矩。将 $q=2kN/m$，$l=4m$，$E=10GPa$，$I=\dfrac {bh^{3}}{12}$ 代入，得到 ${\omega }_{max}=\dfrac {5\times 2\times {10}^{3}\times {4}^{4}}{384\times 10\times {10}^{9}\times \dfrac {120\times {160}^{3}}{12}}$。计算得到 ${\omega }_{max}=0.0202m$。
步骤 5：校核梁的强度和刚度
将步骤 3 中计算得到的最大应力 ${\sigma }_{max}=119MPa$ 与许用应力 $[ o] =12MPa$ 比较，得到 ${\sigma }_{max}\lt [ o]$，因此梁的强度安全。将步骤 4 中计算得到的最大挠度 ${\omega }_{max}=0.0202m$ 与许可挠度 $[ w] =\dfrac {4}{150}m$ 比较，得到 ${\omega }_{max}\lt [ w]$，因此梁的刚度安全。