题目
单选题设(X1,X2,X3,X4,X5)为总体(X1,X2,X3,X4,X5)的样本,(X1,X2,X3,X4,X5)服从F分布,其中c为常数,则c= ( )A (X1,X2,X3,X4,X5)B 1C (X1,X2,X3,X4,X5)D (X1,X2,X3,X4,X5)
单选题设
为总体
的样本,
服从F分布,其中c为常数,则c= ( )
A 
B 1
C 
D 
题目解答
答案
如果 
，
那么
服从自由度为 1 的卡方分布，记作
对于，
可知 
是两个卡方分布变量的和，而
是三个卡方分布变量的和。
卡方分布的和的性质是，
如果
，那么 
因此，
F 分布定义为两个卡方分布变量除以它们各自的自由度，即 
需知
的比值，
所以 C 必须是 2/3 的倒数，即
因此，正确答案是C。
解析
步骤 1：确定卡方分布
由于$X\sim N(0,9)$，则$X$的方差为$9$，即$\sigma^2=9$。因此，$\dfrac{X_i^2}{9}$服从自由度为1的卡方分布，记作$\chi^2_1$。
步骤 2：计算$X_1^2+X_2^2$和$X_3^2+X_4^2+X_5^2$的卡方分布
由于$X_1^2$和$X_2^2$独立同分布，所以$X_1^2+X_2^2$服从自由度为2的卡方分布，记作$\chi^2_2$。同理，$X_3^2+X_4^2+X_5^2$服从自由度为3的卡方分布，记作$\chi^2_3$。
步骤 3：确定F分布
根据F分布的定义，$F=\dfrac{\chi^2_k/k}{\chi^2_l/l}$，其中$k$和$l$分别是分子和分母的自由度。因此，$Y=\dfrac{C(X_1^2+X_2^2)}{X_3^2+X_4^2+X_5^2}$服从F分布，即$Y=\dfrac{C\chi^2_2/2}{\chi^2_3/3}$。
步骤 4：确定常数C
为了使$Y$服从F分布，分子和分母的自由度必须匹配。因此，$C\chi^2_2/2$和$\chi^2_3/3$的比值必须是F分布。所以，$C$必须是$2/3$的倒数，即$C=\dfrac{3}{2}$。
由于$X\sim N(0,9)$，则$X$的方差为$9$，即$\sigma^2=9$。因此，$\dfrac{X_i^2}{9}$服从自由度为1的卡方分布，记作$\chi^2_1$。
步骤 2：计算$X_1^2+X_2^2$和$X_3^2+X_4^2+X_5^2$的卡方分布
由于$X_1^2$和$X_2^2$独立同分布，所以$X_1^2+X_2^2$服从自由度为2的卡方分布，记作$\chi^2_2$。同理，$X_3^2+X_4^2+X_5^2$服从自由度为3的卡方分布，记作$\chi^2_3$。
步骤 3：确定F分布
根据F分布的定义，$F=\dfrac{\chi^2_k/k}{\chi^2_l/l}$，其中$k$和$l$分别是分子和分母的自由度。因此，$Y=\dfrac{C(X_1^2+X_2^2)}{X_3^2+X_4^2+X_5^2}$服从F分布，即$Y=\dfrac{C\chi^2_2/2}{\chi^2_3/3}$。
步骤 4：确定常数C
为了使$Y$服从F分布，分子和分母的自由度必须匹配。因此，$C\chi^2_2/2$和$\chi^2_3/3$的比值必须是F分布。所以，$C$必须是$2/3$的倒数，即$C=\dfrac{3}{2}$。