题目

例15.1 天然矿泉水双寡头垄断-|||-例15.1为上述内容提供了一个具体实例。我们将考虑这样的情形:市场中仅存在两个厂商,-|||-他们的需求函数和成本函数都很简单。以下是古诺模型的一个例子:19世纪天然矿泉水的双寡-|||-头垄断,我们假设每个矿泉水厂商都能提供足够多的(健康的)矿泉水,并面临向市场提供多少产-|||-量的问题。每个厂商抽水和装罐q,升水的成本是 _(4)((q)_(1))=c(q)_(4) ,意味着每升水的边际成本是常数-|||-c。矿泉水的反需求函数是-|||-P(Q)=a-Q (15.6)-|||-其中a是需求的截距(度量矿泉水需求的强度), =(q)_(1)+(q)_(2) 为矿泉水总产出。接下来我们将探讨-|||-在不同的模型中,市场是怎样运行的。-|||-伯特兰德模型。在伯特兰德博弈的纳什均衡结果中,两个厂商的定价都等于边际成本。因-|||-此,市场价格 P'=c ,总产出 '=a-c ,厂商利润 (pi )^2=0 ,所有厂商的总利润 ^circ =0 。为保证产量-|||-为正,我们必须假设 gt c ,这个假设将贯穿问题的始末。-|||-古诺模型。依照例8.6对纳什均衡的求解步骤。两个古诺厂商的利润为-|||-_(1)=P(Q)(q)_(1)-c(q)_(1)=(a-(q)_(1)-(q)_(2)-c)q (15.7)-|||-(pi )_(2)=P(Q)(q)_(2)-c(q)_(2)=(a-(q)_(1)-(q)_(2)-c)(q)_(2)-|||-运用一阶条件求最优解,我们得到-|||-._(1)=dfrac (a-{q)_(2)-c}(2) _(2)=dfrac (a-{q)_(1)-c}(2) (15.8)-|||-上述两个等式联立求解得到纳什均衡结果-|||-_(1)^x=(q)_(2)'=dfrac (a-c)(3) (15.9)-|||-因此,总产出 ^x=2(a-c)/3 ,将总产出带入反需求函数得到均衡价格 ^4=(a+2c)/3 ,将价格和-|||-产出带入利润函数((15.7)式)中得到 (pi )_(1)'=(pi )_(2)'=(1/9)((a-c))^2 。因此,总市场利润 ^2=(pi )_(1)'+-|||-({T)_(2)}^2=(2/9)((a-c))^2 。-|||-完美卡特尔。完美卡特尔的目标函数是厂商的联合利润-|||-(pi )_(1)+(pi )_(2)=(a-(q)_(1)-(q)_(2)-c)(q)_(1)+(a-(q)_(2)-(q)_(2)-c)(q)_(2) (15.10)-|||-(15.10)式对q1和q2求偏导,得出两个相同的最大化一阶条件:-|||-dfrac (partial )(partial {u)_(1)}((pi )_(1)+(pi )_(2))=dfrac (theta )(partial {u)_(2)}((pi )_(1)+(pi )_(2))=a-2(varphi )_(1)-2(y)_(2)-c=0 (15.11)-|||-一阶条件并没有对完美卡特尔厂商的市场份额产生约束,原因是他们都是在不变的边际成本下生-|||-产同质的产品。但(15.11)式对总产出产生了约束 ({q)_(1)}^2+({q)_(2)}^2=(e)^t=(1/2)(a-c) ,将总产出带入-|||-反需求曲线得出 ^*=(1/2)(a+c) 。将价格和产出带入(15.10)式得出完美卡特尔总利润-|||-'=(1/4)((a-c))^2 。-|||-对比。从伯特兰德模型到古诺模型再到完美卡特尔模型,由于 gt c ,我们可以证明产出Q'从-|||-(a-c) 减少到 (2/3)(a-c) ,再减少到 (1/2)(a-c) 。同样可以证明,价格P'和行业利润Ⅱ'在-|||-不断增加。例如,当 a=120 c=0 (意味着反需求函数为 (Q)=120-Q 并且生产是无成本的)-|||-时,伯特兰德竞争结果的市场产出是120古诺竞争的结果是80,完美卡特尔是60。价格则依次从-|||-0到40,再到60,行业利润从0增加到3200,再增加到3600。

题目解答

答案

解析

本题主要考察古诺模型、伯特兰德模型和完美卡特尔模型下的市场运行情况，通过对比不同模型下的产量、价格和利润，来理解厂商的决策行为以及卡特尔的稳定性。解题思路如下：

  1. 明确各模型的基本信息：
    • 伯特兰德模型：两个厂商的定价都等于边际成本，即 $P' = c$。总产出 $Q'=a - c$，厂商利润 $\pi' = 0$，总利润 $\Pi' = 0$。
    • 古诺模型：
      • 厂商1的利润函数为 $\pi_1=(a - q_1 - q_2 - c)q_1$，厂商2的利润函数为 $\pi_2=(a - q_1 - q_2 - c)q_2$。
      • 对利润函数求一阶条件，得到厂商1的最优反应函数 $q_1=\frac{a - q_2 - c}{2}$，厂商2的最优反应函数 $q_2=\frac{a - q_1 - c}{2}$。
      • 联立两个最优反应函数求解纳什均衡产量：
        • 将 $q_2=\frac{a - q_1 - c}{2}$ 代入 $q_1=\frac{a - q_2 - c}{2}$ 中，得到 $q_1=\frac{a-\frac{a - q_1 - c}{2}-c}{2}$。
        • 先对等式右边进行化简：
          • $q_1=\frac{\frac{2a-(a - q_1 - c)-2c}{2}}{2}=\frac{2a - a+q_1 + c - 2c}{4}=\frac{a + q_1 - c}{4}$。
          • 等式两边同时乘以4得 $4q_1=a + q_1 - c$。
          • 移项可得 $4q_1 - q_1=a - c$，即 $3q_1=a - c$，解得 $q_1^N=\frac{a - c}{3}$。
          • 同理可得 $q_2^N=\frac{a - c}{3}$。
      • 总产出 $Q^N = q_1^N+q_2^N=\frac{a - c}{3}+\frac{a - c}{3}=\frac{2(a - c)}{3}$。
      • 将总产出代入反需求函数 $P(Q)=a - Q$ 得到均衡价格 $P^N=a-\frac{2(a - c)}{3}=\frac{3a-2a + 2c}{3}=\frac{a + 2c}{3}$。
      • 将价格和产出代入利润函数 $\pi_1=(a - q_1 - q_2 - c)q_1$ 得到 $\pi_1^N=\left(a-\frac{a - c}{3}-\frac{a - c}{3}-c\right)\times\frac{a - c}{3}=\left(\frac{3a-(a - c)-(a - c)-3c}{3}\right)\times\frac{a - c}{3}=\frac{a - c}{9}\times(a - c)=\frac{1}{9}(a - c)^2$，同理 $\pi_2^N=\frac{1}{9}(a - c)^2$。
      • 总市场利润 $\Pi^N=\pi_1^N+\pi_2^N=\frac{2}{9}(a - c)^2$。
    • 完美卡特尔模型：
      • 联合利润函数为 $\pi_1+\pi_2=(a - q_1 - q_2 - c)q_1+(a - q_1 - q_2 - c)q_2$。
      • 对联合利润函数求偏导：
        • $\frac{\partial}{\partial q_1}(\pi_1+\pi_2)=a - 2q_1 - q_2 - c$，$\frac{\partial}{\partial q_2}(\pi_1+\pi_2)=a - q_1 - 2q_2 - c$。
        • 令 $\frac{\partial}{\partial q_1}(\pi_1+\pi_2)=\frac{\partial}{\partial q_2}(\pi_1+\pi_2)=0$，即 $a - 2q_1 - q_2 - c = 0$ 和 $a - q_1 - 2q_2 - c = 0$。
        • 两式相加可得 $2a-3(q_1 + q_2)-2c = 0$，因为 $Q^C=q_1^C+q_2^C$，所以 $2a-3Q^C-2c = 0$，解得 $Q^C=\frac{1}{2}(a - c)$。
      • 将总产出代入反需求曲线 $P(Q)=a - Q$ 得出 $P^C=a-\frac{1}{2}(a - c)=\frac{2a-(a - c)}{2}=\frac{a + c}{2}$。
      • 将价格和产出代入联合利润函数 $\pi_1+\pi_2=(a - Q^C - c)Q^C$ 得到 $\Pi^C=\left(a-\frac{1}{2}(a - c)-c\right)\times\frac{1}{2}(a - c)=\left(\frac{2a-(a - c)-2c}{2}\right)\times\frac{1}{2}(a - c)=\frac{a - c}{4}\times(a - c)=\frac{1}{4}(a - c)^2$。
  2. 对比各模型结果：
    • 产量对比：伯特兰德模型产量 $Q'=a - c$，古诺模型产量 $Q^N=\frac{2}{3}(a - c)$，完美卡特尔模型产量 $Q^C=\frac{1}{2}(a - c)$，因为 $a>c$，所以 $Q'>Q^N>Q^C$。
    • 价格对比：伯特兰德模型价格 $P' = c$，古诺模型价格 $P^N=\frac{a + 2c}{3}$，完美卡特尔模型价格 $P^C=\frac{a + c}{2}$，因为 $a>c$，所以 $P'
    • 利润对比：伯特兰德模型总利润 $\Pi' = 0$，古诺模型总利润 $\Pi^N=\frac{2}{9}(a - c)^2$，完美卡特尔模型总利润 $\Pi^C=\frac{1}{4}(a - c)^2$，因为 $a>c$，所以 $\Pi'<\Pi^N<\Pi^C$。
  3. 分析卡特尔稳定性：
    • 在古诺模型中，每个厂商根据对方的产量来确定自己的最优产量，这是一种基于自身利益最大化的反应。
    • 而在完美卡特尔中，厂商为了实现联合利润最大化，会限制产量。但每个厂商都有动机偏离卡特尔协议，因为如果其他厂商遵守卡特尔产量，自己稍微增加产量可以获得更高的利润。所以完美卡特尔中的厂商会生产比最优反应少的产量，卡特尔可能是不稳定的。