题目
[例3.11] 三铰拱ABC的支承及荷载情况如图3.25所示,已知 =20kN, 均布荷载-|||-=4kN/m, 求铰链支座A和B的约束反力。-|||-P 1m-|||-q C P 1m __-|||-C-|||-2m 2m-|||-日 日-|||-FA FAy FRx B-|||-FBy FRX-|||-B-|||-(a) (b) 19.5kN-|||-图3.25
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算支座B的竖向反力 ${F}_{By}$
根据整体受力图，利用力矩平衡条件 $\sum {M}_{A}(F)=0$ ，可以求出支座B的竖向反力 ${F}_{By}$ 。其中，均布荷载 q=4kN/m 作用在2m的跨度上，因此均布荷载的合力为 $4\times 2=8kN$ ，作用点在跨度的中点，即距离支座A 1.5m 处。力矩平衡方程为：
$$-4\times 3\times 1.5-20\times 3+4{F}_{By}=0$$
解得 ${F}_{By}=19.5kN$ 。
步骤 2：计算支座A的竖向反力 ${F}_{Ay}$
根据整体受力图，利用竖向力平衡条件 $\sum {F}_{y}=0$ ，可以求出支座A的竖向反力 ${F}_{Ay}$ 。力平衡方程为：
$${F}_{Ay}-P+{F}_{By}=0$$
将已知的 P=20kN 和 ${F}_{By}=19.5kN$ 代入，解得 ${F}_{Ay}=0.5kN$ 。
步骤 3：计算支座A和B的水平反力 ${F}_{Ax}$ 和 ${F}_{Bx}$
根据整体受力图，利用水平力平衡条件 $\sum {F}_{x}=0$ ，可以求出支座A和B的水平反力 ${F}_{Ax}$ 和 ${F}_{Bx}$ 。力平衡方程为：
$$4\times 3+{F}_{Ax}+{F}_{Bx}=0$$
取BC为研究对象，利用力矩平衡条件 $\sum {M}_{C}(F)=0$ ，可以求出支座B的水平反力 ${F}_{Bx}$ 。力矩平衡方程为：
$$-1\times 20+2\times 19.5+3{F}_{Bx}=0$$
解得 ${F}_{Bx}=-6.33kN$ 。将 ${F}_{Bx}=-6.33kN$ 代入水平力平衡方程，解得 ${F}_{Ax}=-5.67kN$ 。
根据整体受力图，利用力矩平衡条件 $\sum {M}_{A}(F)=0$ ，可以求出支座B的竖向反力 ${F}_{By}$ 。其中，均布荷载 q=4kN/m 作用在2m的跨度上，因此均布荷载的合力为 $4\times 2=8kN$ ，作用点在跨度的中点，即距离支座A 1.5m 处。力矩平衡方程为：
$$-4\times 3\times 1.5-20\times 3+4{F}_{By}=0$$
解得 ${F}_{By}=19.5kN$ 。
步骤 2：计算支座A的竖向反力 ${F}_{Ay}$
根据整体受力图，利用竖向力平衡条件 $\sum {F}_{y}=0$ ，可以求出支座A的竖向反力 ${F}_{Ay}$ 。力平衡方程为：
$${F}_{Ay}-P+{F}_{By}=0$$
将已知的 P=20kN 和 ${F}_{By}=19.5kN$ 代入，解得 ${F}_{Ay}=0.5kN$ 。
步骤 3：计算支座A和B的水平反力 ${F}_{Ax}$ 和 ${F}_{Bx}$
根据整体受力图，利用水平力平衡条件 $\sum {F}_{x}=0$ ，可以求出支座A和B的水平反力 ${F}_{Ax}$ 和 ${F}_{Bx}$ 。力平衡方程为：
$$4\times 3+{F}_{Ax}+{F}_{Bx}=0$$
取BC为研究对象，利用力矩平衡条件 $\sum {M}_{C}(F)=0$ ，可以求出支座B的水平反力 ${F}_{Bx}$ 。力矩平衡方程为：
$$-1\times 20+2\times 19.5+3{F}_{Bx}=0$$
解得 ${F}_{Bx}=-6.33kN$ 。将 ${F}_{Bx}=-6.33kN$ 代入水平力平衡方程，解得 ${F}_{Ax}=-5.67kN$ 。