某产品的生产函数和成本函数分别为 =4sqrt (xy); =2x+8y, 其中x、y为生产该产品的投入-|||-要素。当成本预算为64 时,两种要素投入量为多少,产量最高?最高产量为多少?

步骤 1：建立拉格朗日函数
根据题意，我们需要在成本预算为64的条件下，求解生产函数 $Q=4\sqrt {xy}$ 的最大值。首先，建立拉格朗日函数 $F(x,y,\lambda )=4\sqrt {xy}+\lambda (2x+8y-64)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。

步骤 2：求解拉格朗日函数的偏导数
对拉格朗日函数 $F(x,y,\lambda )$ 分别对 $x$、$y$ 和 $\lambda$ 求偏导数，得到以下方程组：
$$
\left \{ \begin{matrix}
\dfrac{\partial F}{\partial x} = 2\sqrt{\dfrac{y}{x}} + 2\lambda = 0,\\
\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} + 8\lambda = 0,\\
\dfrac{\partial F}{\partial \lambda} = 2x + 8y - 64 = 0.
\end{matrix} \right.
$$

步骤 3：解方程组
从方程组中解出 $x$ 和 $y$ 的值。首先，从第一个方程中解出 $\lambda$：
$$
\lambda = -\sqrt{\dfrac{y}{x}}.
$$
将 $\lambda$ 的表达式代入第二个方程中，得到：
$$
2\sqrt{\dfrac{x}{y}} - 8\sqrt{\dfrac{y}{x}} = 0.
$$
化简得：
$$
\sqrt{\dfrac{x}{y}} = 4\sqrt{\dfrac{y}{x}}.
$$
两边平方得：
$$
\dfrac{x}{y} = 16\dfrac{y}{x}.
$$
化简得：
$$
x^2 = 16y^2.
$$
即：
$$
x = 4y.
$$
将 $x = 4y$ 代入第三个方程中，得到：
$$
2(4y) + 8y = 64.
$$
化简得：
$$
16y = 64.
$$
解得：
$$
y = 4.
$$
将 $y = 4$ 代入 $x = 4y$ 中，得到：
$$
x = 16.
$$

步骤 4：计算最高产量
将 $x = 16$ 和 $y = 4$ 代入生产函数 $Q=4\sqrt {xy}$ 中，得到：
$$
Q = 4\sqrt{16 \times 4} = 4\sqrt{64} = 4 \times 8 = 32.
$$