题目
6-9 图示矩形截面外伸梁,已知尺寸 =0.8m, b=30mm ,h=60mm ,许用-|||-应力 [ sigma ] =160MPa (1)作出梁的剪力图和弯矩图:(2)根据弯曲正应力强度确定许可载-|||-荷[q]。-|||-q 2qa-|||-D 4 C-|||-B h-|||-a .1. a -1- a-|||--i |b|
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定支反力
设A点的竖向支反力为RA，B点的竖向支反力为RB。对B点取矩，$\sum _{n}^{n}{M}_{B}=0$，则 ${R}_{A}\times 3a-a\times 4a\times 2a=0$。已知 $a=0.8m$，q为未知荷载。解得 ${R}_{A}=\dfrac {8}{3}qa$。由竖向力平衡 $\sum _{i=1}^{n}{F}_{y}=0$，${R}_{A}+{R}_{B}-4qa=0$。将 ${R}_{A}=\dfrac {8}{3}qa$ 代入可得 ${R}_{B}=\dfrac {4}{3}qa$。
步骤 2：作剪力图
AC段：${V}_{AC}={R}_{A}=\dfrac {8}{3}qa$ (常数)。
CD段：${V}_{CD}={R}_{A}-q(x-a)=\dfrac {8}{3}qa-q(x-a)$。当 $x=2a$ 时，${V}_{CD}=-\dfrac {4}{3}qa$。
DB段：${V}_{DB}={R}_{A}-2qa-q(x-2a)=\dfrac {8}{3}qa-2qa-q(x-2a)$。当 $x=3a$ 时，${V}_{DB}=-\dfrac {4}{3}qa$。
步骤 3：作弯矩图
AC段：${M}_{AC}={R}_{A}\times (x-0)=\dfrac {8}{3}qa x$。当 $x=a$ 时，${M}_{AC}=\dfrac {8}{3}qa^2$。
CD段：${M}_{CD}={R}_{A}\times (x-a)-\dfrac {1}{2}q(x-a)^2=\dfrac {8}{3}q(x-a)-\dfrac {1}{2}q(x-a)^2$。当 $x=2a$ 时，$M_{CD}=\dfrac {8}{3}qa^2-\dfrac {1}{2}qa^2=\dfrac {13}{6}qa^2$。
DB段：${M}_{DB}={R}_{A}\times (x-2a)-2qa(x-2a)-\dfrac {1}{2}q(x-2a)^2$。当 $x=3a$ 时，$M_{DB}=0$。
步骤 4：根据弯曲正应力强度确定许可荷载[q]
对于矩形截面，b=30mm=0.03m，h=60mm=0.06m，截面模量 $W=\dfrac {b{h}^{2}}{6}=\dfrac {0.03\times {0.06}^{2}}{6}=1.8\times {10}^{-5}{m}^{3}$。最大弯矩 ${M}_{max}=\dfrac {13}{6}qa^2$ (发生在C点右侧)。根据弯曲正应力强度条件 $\sigma =\dfrac {M}{W}\leqslant [ \sigma ]$，已知 $[ \sigma ]=160MPa=160\times {10}^{6}Pa$。代入数据解得 $q\leqslant \dfrac {160\times {10}^{6}\times 1.8\times {10}^{-5}\times 6}{13\times {0.8}^{2}}$。计算得 $q\leqslant 1661.54N/m$。
设A点的竖向支反力为RA，B点的竖向支反力为RB。对B点取矩，$\sum _{n}^{n}{M}_{B}=0$，则 ${R}_{A}\times 3a-a\times 4a\times 2a=0$。已知 $a=0.8m$，q为未知荷载。解得 ${R}_{A}=\dfrac {8}{3}qa$。由竖向力平衡 $\sum _{i=1}^{n}{F}_{y}=0$，${R}_{A}+{R}_{B}-4qa=0$。将 ${R}_{A}=\dfrac {8}{3}qa$ 代入可得 ${R}_{B}=\dfrac {4}{3}qa$。
步骤 2：作剪力图
AC段：${V}_{AC}={R}_{A}=\dfrac {8}{3}qa$ (常数)。
CD段：${V}_{CD}={R}_{A}-q(x-a)=\dfrac {8}{3}qa-q(x-a)$。当 $x=2a$ 时，${V}_{CD}=-\dfrac {4}{3}qa$。
DB段：${V}_{DB}={R}_{A}-2qa-q(x-2a)=\dfrac {8}{3}qa-2qa-q(x-2a)$。当 $x=3a$ 时，${V}_{DB}=-\dfrac {4}{3}qa$。
步骤 3：作弯矩图
AC段：${M}_{AC}={R}_{A}\times (x-0)=\dfrac {8}{3}qa x$。当 $x=a$ 时，${M}_{AC}=\dfrac {8}{3}qa^2$。
CD段：${M}_{CD}={R}_{A}\times (x-a)-\dfrac {1}{2}q(x-a)^2=\dfrac {8}{3}q(x-a)-\dfrac {1}{2}q(x-a)^2$。当 $x=2a$ 时，$M_{CD}=\dfrac {8}{3}qa^2-\dfrac {1}{2}qa^2=\dfrac {13}{6}qa^2$。
DB段：${M}_{DB}={R}_{A}\times (x-2a)-2qa(x-2a)-\dfrac {1}{2}q(x-2a)^2$。当 $x=3a$ 时，$M_{DB}=0$。
步骤 4：根据弯曲正应力强度确定许可荷载[q]
对于矩形截面，b=30mm=0.03m，h=60mm=0.06m，截面模量 $W=\dfrac {b{h}^{2}}{6}=\dfrac {0.03\times {0.06}^{2}}{6}=1.8\times {10}^{-5}{m}^{3}$。最大弯矩 ${M}_{max}=\dfrac {13}{6}qa^2$ (发生在C点右侧)。根据弯曲正应力强度条件 $\sigma =\dfrac {M}{W}\leqslant [ \sigma ]$，已知 $[ \sigma ]=160MPa=160\times {10}^{6}Pa$。代入数据解得 $q\leqslant \dfrac {160\times {10}^{6}\times 1.8\times {10}^{-5}\times 6}{13\times {0.8}^{2}}$。计算得 $q\leqslant 1661.54N/m$。