当时, 当 时,(负号表示压力)综上,当时,,计算题6:如图所示结构2-6(a)中,1,2两杆的横截面直径分别为,。横梁、视为刚体。求两杆内的应力。解:杆的支座不受力,也不受力,所以可视为作用于杆的端。取为受力体,受力图如图2-6(b)所示。析 此题属静定问题,在分析杆CD平衡时可知点D的支反力,即CD杆完全不受力,仅在P作用于ABC杆时被其带动绕点D作刚体转动。所以只需对杆ABC作静立分析即可求解。计算题7:图市矩形截面杆,横截面上的正英里延截面高度线性分布,截面定点各点处的正应力均为,底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量,并确定其大小。图中之C电位截面形心。解:横截面上只存在正的正应力,因此横截面上的内力为拉力F。在xoy平面内,正应力沿高度线性分布关系为:()=20MN计算题8:题2-8图(a)所示是一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间的竖向撑杆用角钢构成。已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。求拉杆AE和EG横截面上的应力。 解:(1)作受力图。解除题2-8图(a)所示屋架结构的约束,代之以支座反力,作受力图,如题2-8图(b)所示。(2)求支座反力。利用静力学平衡方程及q=20kN/m,可得,(3)计算拉杆EG的轴力取半个屋架为分离体,作受力图,如题2-8图)(d)所示。由静力学平衡方程及得(4)计算拉杆AE的轴力取铰节E为研究对象,作受力图,如题2-8图(d)所示。由静力学平衡方程及,得(5)计算拉杆AE和EG横截面上的应力查表得75mm8mm等边角钢的横截面积为,所以拉杆AE和EG横截面上的应力计算题9:题2-9图(a)所示拉杆承受轴向拉力F=10kN,干得横截面积A=100。如以表示斜截面与横截面的夹角,试求当时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。 解:拉杆横截面上的正应力应用斜截面上的正应力和切应力公式可得 它们的方向分别表示在题2-9图(b)、(c)、(d)、(e)、(f)中。计算题10:一根直杆受力如题2-10图(a)所示。已知杆的横截面积A和材料的弹性模量E。试作轴力图,并求杆端点D的位移。解: 首先解除约束,代之以约束反力,作受力图,如题2-10图(b)所示。利用静力学平衡条件确定约束反力的大小和方向,并标示在受力图上。再以杆左端面A的外法线n为标准,将受力图中各外力标以正负号,凡与n的指向一致的外力,标以 号,反之标以 号。最后,自左向右作轴力图,轴力图是平行于杆轴线的直线,在有外力作用处,轴力图线发生突变,突变量等于对应外力的数值,如题2-10图(c)所示。根据轴力图,应用胡克定律,计算杆端D的位移为计算题11:一木柱受力如题2-11图(a)所示。柱的横截面为边长200mm的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E=10GPa。如不记柱的自重 ,试求:(1)作轴力图;(2)各段柱横截面上的应力;(3)各段柱的纵向线应变;(4)柱的总变形。解:(1)作轴力图 解除B处约束,代之以约束反力,应用静力学平衡条件,确定约束反力的大小和方向,作受力图,如题2-11图(b)所示,以截面B的外法线n为标准,将受力图中各力标以正负号,凡是和n的指向一致的外力标以 号,反之标以 号,自下向上画轴力图。(2)计算各段柱横截面上的应力(3)计算各段的线应变应用胡克定律,各段柱的线应变为(4)计算柱的总变形计算题12:一根直径d=16mm、长l=3m的圆截面杆,承受轴向拉力F=30kN,其伸长为=2.2mm。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。解: 应用胡克定律确定材料的弹性模量根据轴向拉伸的应力公式,杆横截面上的应力为计算题13:图2.13所示简单桁架,若在节点A作用力F系沿杆2方向,试问:(1)1杆、2杆受力若干?(2)A点的位移应如何确定是否沿2杆方向?解:(1)图中1杆和2杆均为二力构件,对于杆2,在A处受到沿2杆向外的作用力F与2杆在同一条线上,因此2杆受力就为F,而1杆受力则为0。(2)杆2位拉压变形,由胡克定律得:=如上图所示,A点位移沿水平方向为零,沿竖直方向不为零且,方向并不沿2杆方向计算题14:等直钢杆受均匀拉伸作用,如图所示,已知钢弹性模量E=200GPa,钢的伸长量为,问此杆塑性伸长量为多少 ?解:钢杆的最终变形可看作弹性变形与塑性变形的叠加变形在弹性范围内,钢杆的变形量为:所以此杆的塑性伸长量为5.625mm。计算题15:一板形试件,在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应片,用以测量试件的应变 。实验时测得,求该试件的E, ,和G三个材料常数,试件的尺寸及受力方向如图所示。解:取杆表面单元体,其受力如图所示:==0, 代入数据得E=420GPa,=0.3计算题16:打入粘土的木桩长为l,受压力为P,如图(a)所示,设荷载全由摩擦力承担,且沿木桩单位长度内的摩擦力f按抛物线变化(k为常数)。已知P=420kN,l=12m,横截面积A=640,弹性模量E=10GPa。求常数k及木桩的压缩量。解:确定常数k。dy为段上的摩擦力dF为dF=fdy则总摩擦力F=P,即 所以 求总的压缩量:取dy为段木桩,受力图如图(b)所示。由于dy很小,微桩可略去dF,所以微桩的伸长量为整个桩的压缩量为 析 压力由全部摩擦力P承担,所以总的摩擦力F=P。而F为f的分布曲线所围面积,以此关系求出常数k,求压缩量时,由于轴力不是常数,因此取微桩dy来考虑,计算微桩的压缩量,从面积积分求出全桩的压缩量 。计算题17:简单桁架如图(a)所示,三根杆材料相同,E=200GPa,横截面积都为A=300,P=15kN。求C点的水平及垂直位移。解:(1)先求各杆内力取C点为研究对象,受力图如图(b)所示,求得再取B点为研究对象,受力图如图(c),求得(2)求各杆伸长量(3)变形图如图( )A. B杆伸长,, AC杆缩短,, B. C杆缩短, C. 点移至点。 D. 变形关系: E. 所以 F. C杆的点缩到点。BC杆的点缩到点。而杆AB的点水平向右移到点。BC杆本身受力有变形,同时还随点 G. 平移。所以点平移到点。然后从点作的垂线,从点作的垂线交于点。点即点的最后位移。通过几何关系求得 点的x和y方向的位移。 计算题18: B杆的横截面积,AC杆的横截面积为,弹性模量E=210GPa,铅锤力P=20kN。求A点的位移。 解:作受力分析:由力的平行四边形法则得: 结构变形图如图所示 由几何关系得 计算题19: ,比重为,弹性模量为E,求其在外力F和自重作用下杆的应力和变形 。 解:要求应力和变形,首先要用截面法求出轴力,便可求出应力,本题中的轴力为x的函数,变形必须用积分法。 所示,求x截面的轴力如图(c)所示 作轴力图如图(b)所示 当 (2) x截面的应力 当 (3)杆件的变形。dx微段的伸长量,如图(d)由于dx无穷小,上下面轴力可认为相等,则 杆件的总伸长量 的作用,杆件在自重作用下的伸长量为 W为整个杆件重量,等直杆由于自重引起的伸长,等于全部重量作用于杆端时所引起伸长量的一半 )。 (4)由于自重作用,杆件任意截面(距杆端距离为x时)的位移 = 作用下的伸长量,如图(e)。 计算题20: 已知阶梯形直杆受力如图所示, (1)画出其轴力图; B、BC、CD段横截面上的正应力; =200GPa;杆各段的横截面积分别为;杆各段的长度分别为。试求杆的总伸长量。 四处都有集中力作用,所以AB、BC、CD三段杆的轴力各不相同 。 所示。 然后分别对截开的三部分应用平衡方程 B、BC、CD段杆横截面上的轴力分别为 于是在坐标系可以画出轴力图 ,如图(b)所示。 B段: C段: D段: (3)杆各段的轴力不等,且横截面积也不完全相同 ,因而必须分段计算各段的变形,然后相加。 杆的总伸长量为 计算题21: 及 出分别安装两个杠杆变形仪,放大倍数各为,,标距均为s=20mm,受压后杠杆仪的读数增量为,如图所示,求该材料的泊松比。 解: 计算题22: 某材料的应力-应变曲线如图所示。是根据该曲线确定: 比例极限与屈服极限; (2)当应力增加到时,材料的正应变与塑性应变。 解: (1) MPa (2)当时, , 计算题23: 三角吊架如图所示,两杆材料相同,都为塑性材料 ,水平杆的长度为l,斜杆的长度随角的变化而定,设许用应力为。求该结构具有最小重量时的角。 为受力体,求得 两杆材料相同,当角为合理值时,两杆的应力要求同时达到许用应力。这是两杆的截面面积分别为 所以 同时 V为 = 若体积为最小,则应有 ,得 得 计算题24: =30kN。已知杆的横截面积,材料的弹性模量E=210GPa。试求杆中所积蓄的应变能。 解:杆中的应变能为 计算题25: 所示,以至各干的材料和横截面积均相同,面积,材料的弹性模量,屈服极限,强度极限; (1)当,1、2、3杆中的线应变分别为多少? 的水平位移、竖直位移、总位移为多少? (3)结构的强度储备(即安全因素)n为多少? 解:(1)由平衡条件 N = )为 的垂直位移为 产生水平位移为 m 或 的总位移为 (3)结构的强度储备: 计算题26: 图示的杆件结构中1、2杆的横截面积,3、4杆的横截面积;1、2杆的许用应力,3、4杆的需用应力。试求结构的许用荷载。 两点受力如图所示: 由 ,得,; 由 ,得 ; N。 计算题27: B用两根不等边角钢组成,钢的许用应力,试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满足强度条件? 为研究对象,假设缓慢、匀速地拉链条,则拉力F等于被起重物的重量P,受力图如图(b)所示。 得 B横截面上的应力 工作应力,所以安全。 计算题28: 所示,杆件AB、AD均由两根等边角钢组成,已知材料的许用应力,试选择杆AB、AD的角钢型号。 D的应力,并选择角钢的型号 降结构拆成三部分,如图(b)(c)(d)所示对图(c)列平衡方程 =300kN D的轴力。根据强度条件 D的桔面积为 D可选两根的等边角钢。 B内的应力,选择其型号。 对图(b), 可得 根据强度条件 B所需的截面积 查表得的等边角钢截面积为19.261,两根的截面积为 B选用两根的等边角钢。 计算题29: 所示的三角拱屋架的拉杆用16锰钢杆制成。已知此杆的许用应力=210MPa,弹性模量E=210GPa。按强度条件选择钢杆的直径 。 出的约束,代之以约束反力,作受力图,如图(b)所示。列平衡方程: 可得支座反力 B的轴力,取半个屋架作为研究对象,作受力图,如图(c)所示。 B的轴力 根据强度条件 可确定杆的直径 B的伸长

当时,

当 时,(负号表示压力)

综上,当时,,

计算题6:

如图所示结构2-6(a)中,1,2两杆的横截面直径分别为,。横梁、视为刚体。求两杆内的应力。

解:杆的支座不受力,也不受力,所以可视为作用于杆的端。取为受力体,受力图如图2-6(b)所示。

析 此题属静定问题,在分析杆CD平衡时可知点D的支反力,即CD杆完全不受力,仅在P作用于ABC杆时被其带动绕点D作刚体转动。所以只需对杆ABC作静立分析即可求解。

计算题7:

图市矩形截面杆,横截面上的正英里延截面高度线性分布,截面定点各点处的正应力均为,底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量,并确定其大小。图中之C电位截面形心。

解:横截面上只存在正的正应力,因此横截面上的内力为拉力F。

在xoy平面内,正应力沿高度线性分布关系为:()

=20MN

计算题8:

题2-8图(a)所示是一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间的竖向撑杆用角钢构成。已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。求拉杆AE和EG横截面上的应力。

解:(1)作受力图。解除题2-8图(a)所示屋架结构的约束,代之以支座反力,作受力图,如题2-8图(b)所示。

(2)求支座反力。

利用静力学平衡方程

及q=20kN/m,可得

,

(3)计算拉杆EG的轴力

取半个屋架为分离体,作受力图,如题2-8图)(d)所示。由静力学平衡方程

及得

(4)计算拉杆AE的轴力

取铰节E为研究对象,作受力图,如题2-8图(d)所示。由静力学平衡方程

及,得

(5)计算拉杆AE和EG横截面上的应力

查表得75mm8mm等边角钢的横截面积为,所以拉杆AE和EG横截面上的应力

计算题9:

题2-9图(a)所示拉杆承受轴向拉力F=10kN,干得横截面积A=100。如以表示斜截面与横截面的夹角,试求当时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。

解:拉杆横截面上的正应力

应用斜截面上的正应力和切应力公式

可得

它们的方向分别表示在题2-9图(b)、(c)、(d)、(e)、(f)中。

计算题10:

一根直杆受力如题2-10图(a)所示。已知杆的横截面积A和材料的弹性模量E。试作轴力图,并求杆端点D的位移。

解: 首先解除约束,代之以约束反力,作受力图,如题2-10图(b)所示。利用静力学平衡条件确定约束反力的大小和方向,并标示在受力图上。再以杆左端面A的外法线n为标准,将受力图中各外力标以正负号,凡与n的指向一致的外力,标以 号,反之标以 号。最后,自左向右作轴力图,轴力图是平行于杆轴线的直线,在有外力作用处,轴力图线发生突变,突变量等于对应外力的数值,如题2-10图(c)所示。

根据轴力图,应用胡克定律,计算杆端D的位移为

计算题11:

一木柱受力如题2-11图(a)所示。柱的横截面为边长200mm的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E=10GPa。如不记柱的自重 ,试求:(1)作轴力图;(2)各段柱横截面上的应力;(3)各段柱的纵向线应变;(4)柱的总变形。

解:(1)作轴力图

解除B处约束,代之以约束反力,应用静力学平衡条件,确定约束反力的大小和方向,作受力图,如题2-11图(b)所示,以截面B的外法线n为标准,将受力图中各力标以正负号,凡是和n的指向一致的外力标以 号,反之标以 号,自下向上画轴力图。

(2)计算各段柱横截面上的应力

(3)计算各段的线应变

应用胡克定律,各段柱的线应变为

(4)计算柱的总变形

计算题12:

一根直径d=16mm、长l=3m的圆截面杆,承受轴向拉力F=30kN,其伸长为=2.2mm。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。

解: 应用胡克定律确定材料的弹性模量

根据轴向拉伸的应力公式,杆横截面上的应力为

计算题13:

图2.13所示简单桁架,若在节点A作用力F系沿杆2方向,试问:

(1)1杆、2杆受力若干?

(2)A点的位移应如何确定是否沿2杆方向?

解:(1)图中1杆和2杆均为二力构件,对于杆2,在A处受到沿2杆向外的作用力F与2杆在同一条线上,因此2杆受力就为F,而1杆受力则为0。

(2)杆2位拉压变形,由胡克定律得:=

如上图所示,A点位移沿水平方向为零,沿竖直方向不为零且

,方向并不沿2杆方向

计算题14:

等直钢杆受均匀拉伸作用,如图所示,已知钢弹性模量E=200GPa,钢的伸长量为,问此杆塑性伸长量为多少 ?

解:钢杆的最终变形可看作弹性变形与塑性变形的叠加变形

在弹性范围内,钢杆的变形量为:

所以此杆的塑性伸长量为5.625mm。

计算题15:

一板形试件,在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应片,用以测量试件的应变 。实验时测得,求该试件的E, ,和G三个材料常数,试件的尺寸及受力方向如图所示。

解:取杆表面单元体,其受力如图所示:=

=0,

代入数据得E=420GPa,=0.3

计算题16:

打入粘土的木桩长为l,受压力为P,如图(a)所示,设荷载全由摩擦力承担,且沿木桩单位长度内的摩擦力f按抛物线变化(k为常数)。已知P=420kN,l=12m,横截面积A=640,弹性模量E=10GPa。求常数k及木桩的压缩量。

解:确定常数k。dy为段上的摩擦力dF为dF=fdy

则总摩擦力F=P,即

所以

求总的压缩量:

取dy为段木桩,受力图如图(b)所示。

由于dy很小,微桩可略去dF,所以微桩的伸长量为

整个桩的压缩量为

析 压力由全部摩擦力P承担,所以总的摩擦力F=P。而F为f的分布曲线所围面积,以此关系求出常数k,求压缩量时,由于轴力不是常数,因此取微桩dy来考虑,计算微桩的压缩量,从面积积分求出全桩的压缩量 。

计算题17:

简单桁架如图(a)所示,三根杆材料相同,E=200GPa,横截面积都为A=300,P=15kN。求C点的水平及垂直位移。

解:

(1)先求各杆内力

取C点为研究对象,受力图如图(b)所示,求得

再取B点为研究对象,受力图如图(c),求得

(2)求各杆伸长量

(3)变形图如图( )

A. B杆伸长,, AC杆缩短,,
B. C杆缩短,
C. 点移至点。
D. 变形关系:
E. 所以
F. C杆的点缩到点。BC杆的点缩到点。而杆AB的点水平向右移到点。BC杆本身受力有变形,同时还随点
G. 平移。所以点平移到点。然后从点作的垂线,从点作的垂线交于点。点即点的最后位移。通过几何关系求得
点的x和y方向的位移。
计算题18:
B杆的横截面积,AC杆的横截面积为,弹性模量E=210GPa,铅锤力P=20kN。求A点的位移。
解:作受力分析:由力的平行四边形法则得:
结构变形图如图所示 由几何关系得
计算题19:
,比重为,弹性模量为E,求其在外力F和自重作用下杆的应力和变形 。

解:要求应力和变形,首先要用截面法求出轴力,便可求出应力,本题中的轴力为x的函数,变形必须用积分法。
所示,求x截面的轴力如图(c)所示
作轴力图如图(b)所示
当
(2) x截面的应力
当
(3)杆件的变形。dx微段的伸长量,如图(d)由于dx无穷小,上下面轴力可认为相等,则
杆件的总伸长量
的作用,杆件在自重作用下的伸长量为
W为整个杆件重量,等直杆由于自重引起的伸长,等于全部重量作用于杆端时所引起伸长量的一半 )。
(4)由于自重作用,杆件任意截面(距杆端距离为x时)的位移
=
作用下的伸长量,如图(e)。
计算题20:
已知阶梯形直杆受力如图所示,
(1)画出其轴力图;
B、BC、CD段横截面上的正应力;
=200GPa;杆各段的横截面积分别为;杆各段的长度分别为。试求杆的总伸长量。




四处都有集中力作用,所以AB、BC、CD三段杆的轴力各不相同 。
所示。
然后分别对截开的三部分应用平衡方程
B、BC、CD段杆横截面上的轴力分别为
于是在坐标系可以画出轴力图 ,如图(b)所示。
B段:
C段:
D段:
(3)杆各段的轴力不等,且横截面积也不完全相同 ,因而必须分段计算各段的变形,然后相加。
杆的总伸长量为
计算题21:
及
出分别安装两个杠杆变形仪,放大倍数各为,,标距均为s=20mm,受压后杠杆仪的读数增量为,如图所示,求该材料的泊松比。
解:
计算题22:
某材料的应力-应变曲线如图所示。是根据该曲线确定:
比例极限与屈服极限;
(2)当应力增加到时,材料的正应变与塑性应变。

解: (1)
MPa
(2)当时, ,
计算题23:
三角吊架如图所示,两杆材料相同,都为塑性材料 ,水平杆的长度为l,斜杆的长度随角的变化而定,设许用应力为。求该结构具有最小重量时的角。
为受力体,求得
两杆材料相同,当角为合理值时,两杆的应力要求同时达到许用应力。这是两杆的截面面积分别为
所以
同时
V为
=
若体积为最小,则应有 ,得
得
计算题24:
=30kN。已知杆的横截面积,材料的弹性模量E=210GPa。试求杆中所积蓄的应变能。
解:杆中的应变能为
计算题25:
所示,以至各干的材料和横截面积均相同,面积,材料的弹性模量,屈服极限,强度极限;
(1)当,1、2、3杆中的线应变分别为多少?
的水平位移、竖直位移、总位移为多少?
(3)结构的强度储备(即安全因素)n为多少?

解:(1)由平衡条件
N
=
)为
的垂直位移为
产生水平位移为
m
或
的总位移为
(3)结构的强度储备:
计算题26:
图示的杆件结构中1、2杆的横截面积,3、4杆的横截面积;1、2杆的许用应力,3、4杆的需用应力。试求结构的许用荷载。


两点受力如图所示:
由 ,得,;
由 ,得
;
N。
计算题27:
B用两根不等边角钢组成,钢的许用应力,试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满足强度条件?

为研究对象,假设缓慢、匀速地拉链条,则拉力F等于被起重物的重量P,受力图如图(b)所示。
得
B横截面上的应力
工作应力,所以安全。
计算题28:
所示,杆件AB、AD均由两根等边角钢组成,已知材料的许用应力,试选择杆AB、AD的角钢型号。

D的应力,并选择角钢的型号
降结构拆成三部分,如图(b)(c)(d)所示对图(c)列平衡方程
=300kN
D的轴力。根据强度条件
D的桔面积为
D可选两根的等边角钢。
B内的应力,选择其型号。
对图(b),
可得
根据强度条件
B所需的截面积
查表得的等边角钢截面积为19.261,两根的截面积为
B选用两根的等边角钢。
计算题29:
所示的三角拱屋架的拉杆用16锰钢杆制成。已知此杆的许用应力=210MPa,弹性模量E=210GPa。按强度条件选择钢杆的直径 。


出的约束,代之以约束反力,作受力图,如图(b)所示。列平衡方程:
可得支座反力
B的轴力,取半个屋架作为研究对象,作受力图,如图(c)所示。
B的轴力
根据强度条件
可确定杆的直径
B的伸长