题目
无重水平梁的支承和载荷如图所示。已知力F、力偶矩为M的力偶和强度为q的均布载荷。求支座A和B处的约束力。M-|||-A. B-|||-2a a-|||-(a)-|||-M F-|||-D A B-|||-C-|||-a 2a a-|||-(b)
无重水平梁的支承和载荷如图所示。已知力F、力偶矩为M的力偶和强度为q的均布载荷。求支座A和B处的约束力。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定研究对象和受力分析
对于图a，研究对象是梁AB，受力包括力F、力偶矩为M的力偶和支座A、B处的约束力。对于图b，研究对象同样是梁AB，受力包括力F、力偶矩为M的力偶、强度为q的均布载荷和支座A、B处的约束力。
步骤 2：列出平衡方程
对于图a，根据力矩平衡方程$\sum M_A = 0$，可以得到：
${F}_{B}\times 2a-M-F\times 3a=0$
解得：
${F}_{B}=\dfrac {1}{2}(3F+\dfrac {M}{a})$
根据力的平衡方程$\sum F_y = 0$，可以得到：
${F}_{A}+{F}_{B}-F=0$
解得：
${F}_{A}=F-{F}_{B}=-\dfrac {1}{2}(F+\dfrac {M}{a})$
对于图b，根据力矩平衡方程$\sum M_A = 0$，可以得到：
$\dfrac {1}{2}q{a}^{2}+{F}_{B}\times 2a-F\times 3a-M=0$
解得：
${F}_{B}=\dfrac {1}{2}(3F+\dfrac {M}{a}-\dfrac {1}{2}qa)$
根据力的平衡方程$\sum F_y = 0$，可以得到：
${F}_{A}+{F}_{B}-F-qa=0$
解得：
${F}_{A}=-\dfrac {1}{2}(F+\dfrac {M}{a}-\dfrac {5}{2}qa)$
对于图a，研究对象是梁AB，受力包括力F、力偶矩为M的力偶和支座A、B处的约束力。对于图b，研究对象同样是梁AB，受力包括力F、力偶矩为M的力偶、强度为q的均布载荷和支座A、B处的约束力。
步骤 2：列出平衡方程
对于图a，根据力矩平衡方程$\sum M_A = 0$，可以得到：
${F}_{B}\times 2a-M-F\times 3a=0$
解得：
${F}_{B}=\dfrac {1}{2}(3F+\dfrac {M}{a})$
根据力的平衡方程$\sum F_y = 0$，可以得到：
${F}_{A}+{F}_{B}-F=0$
解得：
${F}_{A}=F-{F}_{B}=-\dfrac {1}{2}(F+\dfrac {M}{a})$
对于图b，根据力矩平衡方程$\sum M_A = 0$，可以得到：
$\dfrac {1}{2}q{a}^{2}+{F}_{B}\times 2a-F\times 3a-M=0$
解得：
${F}_{B}=\dfrac {1}{2}(3F+\dfrac {M}{a}-\dfrac {1}{2}qa)$
根据力的平衡方程$\sum F_y = 0$，可以得到：
${F}_{A}+{F}_{B}-F-qa=0$
解得：
${F}_{A}=-\dfrac {1}{2}(F+\dfrac {M}{a}-\dfrac {5}{2}qa)$