题目

例 3-3 图 3-3a 所示的刚架自重不计。已知: =2kN/m, =10sqrt (2)kNcdot m =2m,-|||-C、D为光滑铰链。试求支座A、B的约束力。-|||-q-|||-D-|||-M-|||-C-|||-A-|||-B-|||-L 3L

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查静力学中刚体的平衡问题，涉及二力杆、力的分解与平衡方程的应用。
解题核心思路：

  1. 识别二力杆：AC杆为二力构件，仅受轴向力，简化受力分析。
  2. 分阶段隔离分析：分别以CD杆、BD杆为研究对象，利用平衡方程分步求解。
  3. 力矩平衡与投影平衡：结合力矩平衡方程和投影平衡方程，处理复杂受力情况。
    破题关键点：
  • 正确受力分析：明确各杆件的约束力方向及外力作用线。
  • 角度处理：45°角的三角函数关系简化计算。

第（1）步：分析CD杆受力

取CD杆为研究对象，受力如图3-3c所示。
力矩平衡方程：
$\sum M_D = 0 \quad \Rightarrow \quad -M + F_D \cdot 2L \cdot \sin 45^\circ = 0$
代入已知条件 $M=10\sqrt{2} \, \text{kN·m}$，$L=2 \, \text{m}$，$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：
$F_D = \frac{M}{2L \cdot \sin 45^\circ} = \frac{10\sqrt{2}}{2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 5 \, \text{kN}$

第（2）步：分析AC杆受力

AC为二力杆，受力如图3-3b所示。
x方向力平衡：
$\sum F_x = 0 \quad \Rightarrow \quad -F_D \sin 45^\circ + F_{AC} \sin 45^\circ = 0$
解得：
$F_{AC} = F_D = 5 \, \text{kN}$

第（3）步：分析BD杆受力

取BD杆为研究对象，受力如图3-3d所示。
x方向力平衡：
$\sum F_x = 0 \quad \Rightarrow \quad F_D' \cos 45^\circ - F_{Bx} = 0$
y方向力平衡：
$\sum F_y = 0 \quad \Rightarrow \quad F_D'' \sin 45^\circ - F + F_{By} = 0$
力矩平衡方程（取B点为矩心）：
$\sum M_B = 0 \quad \Rightarrow \quad -F_D'' \cdot 3L \cdot \sqrt{2} + F \cdot 1.5L + M_B = 0$