题目
在埋深为300 m处的岩体内开挖直径2a=3( m)的圆形硐室，假设岩体的原岩应力为静水压力，上覆岩层的重度gamma =27( kN)/({{m)}^3}，试求：（1）1倍、2倍、6倍硐室半径处的围岩应力；（2）根据上述结果说明围岩应力的分布特征；（3）若围岩的抗剪强度指标c=0.4( MPa)、varphi =({30)^circ }，试用莫尔-库仑强度理论评价硐周的稳定性；（4）硐周若不稳定，试求出塑性变形区的最大半径；（5）若工程要求不允许出现塑性区，求需要多大的支护力。
在埋深为300 m处的岩体内开挖直径$2a=3\text{ m}$的圆形硐室，假设岩体的原岩应力为静水压力，上覆岩层的重度$\gamma =27\text{ kN}/{{\text{m}}^{3}}$，试求：（1）1倍、2倍、6倍硐室半径处的围岩应力；（2）根据上述结果说明围岩应力的分布特征；（3）若围岩的抗剪强度指标$c=0.4\text{ MPa}$、$\varphi ={{30}^{\circ }}$，试用莫尔-库仑强度理论评价硐周的稳定性；（4）硐周若不稳定，试求出塑性变形区的最大半径；（5）若工程要求不允许出现塑性区，求需要多大的支护力。
题目解答
答案
（1）垂直应力$p=\gamma H=8.1\text{ MPa}$，侧压力系数$\lambda =1$，1倍硐室半径处，${{\sigma }_{\theta }}=2p=16.2\text{ MPa}$，${{\sigma }_{r}}={{\tau }_{r\theta }}=0$；2倍硐室半径处，$\left\{ \begin{matrix}& {{\sigma }_{r}}=\dfrac{3}{4}p=6.075\text{ MPa} \& {{\sigma }_{\theta }}=\dfrac{5}{4}p=10.125\text{ MPa} \& {{\tau }_{r\theta }}=0 \\end{matrix} \right.$；6倍硐室半径处，$\left\{ \begin{matrix}& {{\sigma }_{r}}=\dfrac{35}{36}p=7.875\text{ MPa} \& {{\sigma }_{\theta }}=\dfrac{37}{36}p=8.325\text{ MPa} \& {{\tau }_{r\theta }}=0 \\end{matrix} \right.$。（2）硐周处${{\sigma }_{\theta }}$为0；${{\sigma }_{r}}={{\tau }_{r\theta }}=0$。随着硐周距离的增加，${{\sigma }_{\theta }}$逐渐变小，${{\sigma }_{r}}$逐渐变大，且都趋于原岩应力。（3）硐周处，${{\sigma }_{\theta }}=16.2\text{ MPa}，{{\sigma }_{c}}=\dfrac{2c\cos \varphi }{1-\sin \varphi }\text{ MPa}=1.3856~\text{MPa}$，硐周发生破坏。（4）支护力${{P}_{i}}=0$时，塑性区最大半径为(教材公式8-30)\[{{R}_{p}}=a{{\left[ \dfrac{p+c\cot \varphi }{{{p}_{i}}+c\cot \varphi }\left( 1-\sin \varphi \right) \right]}^{\dfrac{1-\sin \varphi }{2\sin \varphi }}}=1.5\times {{\left[ \dfrac{8.1+0.4\times \cot 30{}^\circ }{0+0.4\times \cot 30{}^\circ }\left( 1-\sin 30{}^\circ \right) \right]}^{\dfrac{1-\sin 30{}^\circ }{2\sin 30{}^\circ }}}\text{ m}=3.78\text{ m}\]（5）若不出现塑性区，则${{R}_{p}}=a$，得：\[{{p}_{i}}=p(1-\sin \varphi )-c\cos \varphi =\left[ 8.1\times (1-\sin 30{}^\circ )-0.4\times \cos 30{}^\circ \right]~\text{MPa}=3.704\text{MPa}\]
解析
步骤 1：计算垂直应力和侧压力系数
垂直应力$p=\gamma H=27\text{ kN}/{{\text{m}}^{3}}\times 300\text{ m}=8.1\text{ MPa}$，侧压力系数$\lambda =1$。
步骤 2：计算1倍、2倍、6倍硐室半径处的围岩应力
1倍硐室半径处，${{\sigma }_{\theta }}=2p=16.2\text{ MPa}$，${{\sigma }_{r}}={{\tau }_{r\theta }}=0$；
2倍硐室半径处，$\left\{ \begin{matrix}& {{\sigma }_{r}}=\dfrac{3}{4}p=6.075\text{ MPa} \& {{\sigma }_{\theta }}=\dfrac{5}{4}p=10.125\text{ MPa} \& {{\tau }_{r\theta }}=0 \\end{matrix} \right.$；
6倍硐室半径处，$\left\{ \begin{matrix}& {{\sigma }_{r}}=\dfrac{35}{36}p=7.875\text{ MPa} \& {{\sigma }_{\theta }}=\dfrac{37}{36}p=8.325\text{ MPa} \& {{\tau }_{r\theta }}=0 \\end{matrix} \right.$。
步骤 3：分析围岩应力的分布特征
硐周处${{\sigma }_{\theta }}$为0；${{\sigma }_{r}}={{\tau }_{r\theta }}=0$。随着硐周距离的增加，${{\sigma }_{\theta }}$逐渐变小，${{\sigma }_{r}}$逐渐变大，且都趋于原岩应力。
步骤 4：评价硐周的稳定性
硐周处，${{\sigma }_{\theta }}=16.2\text{ MPa}，{{\sigma }_{c}}=\dfrac{2c\cos \varphi }{1-\sin \varphi }\text{ MPa}=1.3856~\text{MPa}$，硐周发生破坏。
步骤 5：计算塑性变形区的最大半径
支护力${{P}_{i}}=0$时，塑性区最大半径为(教材公式8-30)\[{{R}_{p}}=a{{\left[ \dfrac{p+c\cot \varphi }{{{p}_{i}}+c\cot \varphi }\left( 1-\sin \varphi \right) \right]}^{\dfrac{1-\sin \varphi }{2\sin \varphi }}}=1.5\times {{\left[ \dfrac{8.1+0.4\times \cot 30{}^\circ }{0+0.4\times \cot 30{}^\circ }\left( 1-\sin 30{}^\circ \right) \right]}^{\dfrac{1-\sin 30{}^\circ }{2\sin 30{}^\circ }}}\text{ m}=3.78\text{ m}\]
步骤 6：计算需要的支护力
若不出现塑性区，则${{R}_{p}}=a$，得：\[{{p}_{i}}=p(1-\sin \varphi )-c\cos \varphi =\left[ 8.1\times (1-\sin 30{}^\circ )-0.4\times \cos 30{}^\circ \right]~\text{MPa}=3.704\text{MPa}\]
垂直应力$p=\gamma H=27\text{ kN}/{{\text{m}}^{3}}\times 300\text{ m}=8.1\text{ MPa}$，侧压力系数$\lambda =1$。
步骤 2：计算1倍、2倍、6倍硐室半径处的围岩应力
1倍硐室半径处，${{\sigma }_{\theta }}=2p=16.2\text{ MPa}$，${{\sigma }_{r}}={{\tau }_{r\theta }}=0$；
2倍硐室半径处，$\left\{ \begin{matrix}& {{\sigma }_{r}}=\dfrac{3}{4}p=6.075\text{ MPa} \& {{\sigma }_{\theta }}=\dfrac{5}{4}p=10.125\text{ MPa} \& {{\tau }_{r\theta }}=0 \\end{matrix} \right.$；
6倍硐室半径处，$\left\{ \begin{matrix}& {{\sigma }_{r}}=\dfrac{35}{36}p=7.875\text{ MPa} \& {{\sigma }_{\theta }}=\dfrac{37}{36}p=8.325\text{ MPa} \& {{\tau }_{r\theta }}=0 \\end{matrix} \right.$。
步骤 3：分析围岩应力的分布特征
硐周处${{\sigma }_{\theta }}$为0；${{\sigma }_{r}}={{\tau }_{r\theta }}=0$。随着硐周距离的增加，${{\sigma }_{\theta }}$逐渐变小，${{\sigma }_{r}}$逐渐变大，且都趋于原岩应力。
步骤 4：评价硐周的稳定性
硐周处，${{\sigma }_{\theta }}=16.2\text{ MPa}，{{\sigma }_{c}}=\dfrac{2c\cos \varphi }{1-\sin \varphi }\text{ MPa}=1.3856~\text{MPa}$，硐周发生破坏。
步骤 5：计算塑性变形区的最大半径
支护力${{P}_{i}}=0$时，塑性区最大半径为(教材公式8-30)\[{{R}_{p}}=a{{\left[ \dfrac{p+c\cot \varphi }{{{p}_{i}}+c\cot \varphi }\left( 1-\sin \varphi \right) \right]}^{\dfrac{1-\sin \varphi }{2\sin \varphi }}}=1.5\times {{\left[ \dfrac{8.1+0.4\times \cot 30{}^\circ }{0+0.4\times \cot 30{}^\circ }\left( 1-\sin 30{}^\circ \right) \right]}^{\dfrac{1-\sin 30{}^\circ }{2\sin 30{}^\circ }}}\text{ m}=3.78\text{ m}\]
步骤 6：计算需要的支护力
若不出现塑性区，则${{R}_{p}}=a$，得：\[{{p}_{i}}=p(1-\sin \varphi )-c\cos \varphi =\left[ 8.1\times (1-\sin 30{}^\circ )-0.4\times \cos 30{}^\circ \right]~\text{MPa}=3.704\text{MPa}\]