第三章 能量原理(习题解答)3-1 写出下列弹性元件的应变能和余应变能的表达式。(a)等轴力杆;(b)弯曲梁;(c)纯剪矩形板。解:(a)等轴力杆应变能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2余应变能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2其中U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2为杆的长度,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2为杆的截面积,Δ为杆的变形量,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2为材料的弹性模量。(b)弯曲梁应变能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2余应变能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2(c)纯剪矩形板应变能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2余应变能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 23-2 求图3-2所示桁架的应变能及应变余能,应力—应变之间的关系式为A. U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 B. U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 C. 所示。 D. 根据平衡条件,有 E. U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 F. U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (1) G. U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (2)U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (3)U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (4)U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (5)联立(1)、(2)、(3)、(4),得到桁架的应变能为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2联立(1)、(2)、(3)、(5),得到桁架的余应变能为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (6)联立(1)、(2)、(4)、(6),得到桁架的应变能为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2联立(1)、(2)、(5)、(6),得到桁架的应变能为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 23-3 一种假想的材料遵循如下二维的应力—应变规律U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2G和U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2是材料常数。导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度。解:应变能密度U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2余应变能密度U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2总应变能密度U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2而U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2所以应变能密度为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2。U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,各杆截面积U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2。解:设o点的位移为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2、U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,则各杆的变形量如下:o-1杆:U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2o-2杆:U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2o-3杆:U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2系统位能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2令U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,则U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,从而:U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2解得U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2由U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,得U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 23-5 试用最小位能原理导出承受均布载荷U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2的弯曲等截面梁(图3-5)的平衡方程式。解:由教科书例3-2知U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2悬臂梁的边界条件为:在U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2处,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2在U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2处,剪力U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,弯矩U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2又知U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2(直法线假设)U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2在U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2处,弯矩U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2所以,当U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2又知U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2所以U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2在U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2处,剪力U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2所以,当U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2由以上,如果U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2则有受均布载荷悬臂梁的平衡方程为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2=0J、U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2。U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2的受力分析图中,只有轴力和弯矩,而无剪力。取右半部分的一段进行受力分析如图3-6a所示。根据平衡条件,可得到弯矩表达式U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2余应变能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2外力余能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2故U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2根据最小余能原理U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (1)U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (2)联立(1)、(2)解得U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2则圆框截面的弯矩为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 23-7 试用瑞利—李兹法确定图3-7所示梁的点U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2处横向挠度。解:梁两端简支,其位移边界条件为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2, U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2选取正弦函数为基函数,取前两项,则U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2梁的应变能为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2梁的外力势能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2梁的总位能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2由最小位能原理U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2因此U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2当U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,四边固定,只受重力U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2作用,如图3-8所示。设U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,试取位移分量的表达式为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2用瑞利—李兹法或伽辽金法求解。解:运用伽辽金法求解。本题中的四边形薄板四边固支,因此是一个平面应力问题。其基本方程为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (1)当只取U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2项和U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2项时,位移分量的表达式为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (2)因为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,所以(1)式可简化为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (3)U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2将U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2,及(2)式代入(3)式,得U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2即U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2简化为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2由此解得U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2代入位移表达式,得U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2由物理方程,得U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 23-9 用李兹法求解受均布载荷作用双简支梁的最大挠度和最大弯矩,挠度函数选下列两种形式,比较其计算结果。U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2解:双简支梁两端的位移边界条件是在U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2处,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2弯矩的表达式为U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时梁的总位能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2由最小位能原理U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2有U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2所以挠度函数的表达式U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2最大挠度U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2最大弯矩U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时梁的总位能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2由最小位能原理U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2有U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2所以挠度函数的表达式U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2最大挠度U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2最大弯矩U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 23-10 用李兹法求解受均布载荷悬臂梁的挠度,挠度函数选下列各种形式,并比较两种计算所得的最大挠度。U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2解:悬臂梁的边界条件是在x=0处,U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时梁的总位能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2由最小位能原理U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2有U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (1)U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2 (2)联立(1)、(2)解得U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2所以挠度函数的表达式U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2最大挠度U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2时梁的总位能U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2根据最小余能原理U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2有U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2所以挠度函数的表达式U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2最大挠度U=| Adv =1.11"3o}" (ε) a 1/2osdy=1/2Ee^2Lf=1/2B(A)1/2Ee^2Lf=1/2E(A)^2Lf=(ETε^2Lf=1/2E(A/L)^2Lf=Et/2A 2精心搜集整理,只为你的需要

第三章 能量原理

(习题解答)

3-1 写出下列弹性元件的应变能和余应变能的表达式。(a)等轴力杆;(b)弯曲梁;(c)纯剪矩形板。

解:(a)等轴力杆

应变能

余应变能

其中为杆的长度,为杆的截面积,Δ为杆的变形量,为材料的弹性模量。

(b)弯曲梁

应变能

余应变能

(c)纯剪矩形板

应变能

余应变能

3-2 求图3-2所示桁架的应变能及应变余能,应力—应变之间的关系式为

A.
B.
C. 所示。
D. 根据平衡条件,有
E.
F. (1)
G. (2)
时
(3)
(4)
(5)
联立(1)、(2)、(3)、(4),得到桁架的应变能为

联立(1)、(2)、(3)、(5),得到桁架的余应变能为

时
(6)
联立(1)、(2)、(4)、(6),得到桁架的应变能为

联立(1)、(2)、(5)、(6),得到桁架的应变能为

3-3 一种假想的材料遵循如下二维的应力—应变规律

G和是材料常数。导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度。
解:应变能密度

余应变能密度

总应变能密度

而

所以应变能密度为

。,,各杆截面积,,。
解:设o点的位移为、,则各杆的变形量如下:
o-1杆:
o-2杆:
o-3杆:
系统位能

令,则,,从而:

解得

由,得


3-5 试用最小位能原理导出承受均布载荷的弯曲等截面梁(图3-5)的平衡方程式。
解:由教科书例3-2知

悬臂梁的边界条件为:
在处,,
在处,剪力,弯矩
又知
(直法线假设)



在处,弯矩
所以,当时,

又知

所以

在处,剪力
所以,当时,
由以上,如果

则有受均布载荷悬臂梁的平衡方程为
=0
J、。

的受力分析图中,只有轴力和弯矩,而无剪力。取右半部分的一段进行受力分析如图3-6a所示。
根据平衡条件,可得到弯矩表达式

余应变能

外力余能

故

根据最小余能原理
(1)
(2)
联立(1)、(2)解得

则圆框截面的弯矩为

3-7 试用瑞利—李兹法确定图3-7所示梁的点处横向挠度。
解:梁两端简支,其位移边界条件为
,
选取正弦函数为基函数,取前两项,则

梁的应变能为

梁的外力势能

梁的总位能

由最小位能原理



因此

当时


,四边固定,只受重力作用,如图3-8所示。设,试取位移分量的表达式为

用瑞利—李兹法或伽辽金法求解。
解:运用伽辽金法求解。
本题中的四边形薄板四边固支,因此是一个平面应力问题。其基本方程为
(1)
当只取项和项时,位移分量的表达式为

(2)
因为,所以(1)式可简化为
(3)

将,及(2)式代入(3)式,得

即

简化为

由此解得

代入位移表达式,得

由物理方程,得

3-9 用李兹法求解受均布载荷作用双简支梁的最大挠度和最大弯矩,挠度函数选下列两种形式,比较其计算结果。


解:双简支梁两端的位移边界条件是
在处,
弯矩的表达式为

时
梁的总位能

由最小位能原理有

所以挠度函数的表达式

最大挠度

最大弯矩

时
梁的总位能

由最小位能原理有


所以挠度函数的表达式

最大挠度

最大弯矩


3-10 用李兹法求解受均布载荷悬臂梁的挠度,挠度函数选下列各种形式,并比较两种计算所得的最大挠度。


解:悬臂梁的边界条件是
在x=0处,
时
梁的总位能

由最小位能原理有
(1)
(2)
联立(1)、(2)解得

所以挠度函数的表达式

最大挠度

时
梁的总位能

根据最小余能原理有

所以挠度函数的表达式

最大挠度
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