9 已知某消费者的效用函数为 =dfrac (1)(3)ln (Q)_(1)+dfrac (2)(3)ln (Q)_(2), 收入为m,两种商品的-|||-价格分别为P1和P 2。求:-|||-(1)消费者分别对两种商品的需求函数;-|||-(2)当 m=300 _(1)=1 , _(2)=2 时的均衡购买量。

本题可根据消费者效用最大化的条件来求解需求函数，再将给定的收入和价格代入需求函数求出均衡购买量。

（1）求消费者分别对两种商品的需求函数

本题可根据消费者效用最大化的条件$\frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}$（其中$MU_1$、$MU_2$分别为商品$1$和商品$2$的边际效用，$P_1$、$P_2$分别为商品$1$和商品$2$的价格）以及预算约束$P_1Q_1 + P_2Q_2 = m$来求解需求函数。

1. 步骤一：计算两种商品的边际效用已知效用函数$U = \frac{1}{3}\ln Q_1 + \frac{2}{3}\ln Q_2$，根据边际效用的定义，对$Q_1$求偏导数可得商品$1$的边际效用$MU_1$：$MU_1 = \frac{\partial U}{\partial Q_1} = \frac{1}{3Q_1}$对$Q_2$求偏导数可得商品$2$的边际效用$MU_2$：$MU_2 = \frac{\partial U}{\partial Q_2} = \frac{2}{3Q_2}$
2. 步骤二：根据消费者效用最大化的条件列出等式由$\frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}$可得：$\frac{\frac{1}{3Q_1}}{P_1}=\frac{\frac{2}{3Q_2}}{P_2}$化简该等式： $\begin{align*}\frac{1}{3P_1Q_1}&=\frac{2}{3P_2Q_2}\\P_2Q_2&=2P_1Q_1\end{align*}$
3. 步骤三：结合预算约束求解需求函数已知预算约束为$P_1Q_1 + P_2Q_2 = m$，将$P_2Q_2 = 2P_1Q_1$代入预算约束中可得：$P_1Q_1 + 2P_1Q_1 = m$；$3P_1Q_1 = m$解得商品$1$的需求函数为：$Q_1 = \frac{m}{3P_1}$将$Q_1 = \frac{m}{3P_1}$代入$P_2Q_2 = 2P_1Q_1$可得：$P_2Q_2 = 2P_1\times\frac{m}{3P_1}$；$P_2Q_2 = \frac{2m}{3}$解得商品$2$的需求函数为：$Q_2 = \frac{2m}{3P_2}$

（2）当$m = 300$，$P_1 = 1$，$P_2 = 2$时的均衡购买量

将$m = 300$，$P_1 = 1$代入商品$1$的需求函数$Q_1 = \frac{m}{3P_1}$可得：$Q_1 = \frac{300}{3\times1} = 100$将$m = 300$，$P_2 = 2$代入商品$2$的需求函数$Q_2 = \frac{2m}{3P_2}$可得：$Q_2 = \frac{2\times300}{3\times2} = 100$

综上，（1）商品$1$的需求函数为$Q_1 = \frac{m}{3P_1}$，商品$2$的需求函数为$Q_2 = \frac{2m}{3P_2}$；（2）当$m = 300$，$P_1 = 1$，$P_2 = 2$时，商品$1$的均衡购买量为$100$，商品$2$的均衡购买量为$100$。