题目
选择轴心受压构件的实腹式焊接工字形截面，轴向力N=8×105N，长度l=4m，柱下端固定，上端自由，材料为Q235，许用应力[sigma;]=175MPa，许用长细比[lambda;]=120，计算简图如图所示。 N y-|||-中 B-|||-条-|||-320 y
选择轴心受压构件的实腹式焊接工字形截面，轴向力N=8×105N，长度l=4m，柱下端固定，上端自由，材料为Q235，许用应力[sigma;]=175MPa，许用长细比[lambda;]=120，计算简图如图所示。 
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定计算长度系数
柱下端固定，上端自由，计算长度系数 ${\mu }_{1}=2$。
步骤 2：计算长细比
长细比 $\lambda =\dfrac {{l}_{0}}{r}$，其中 ${l}_{0}={\mu }_{1}L$，$L$ 为柱的实际长度，$r$ 为截面的回转半径。根据题目，$L=4m$，${\mu }_{1}=2$，则 ${l}_{0}=2\times 4m=8m$。假设长细比 $\lambda =90$，则 $r=\dfrac {{\mu }_{2}L}{\lambda }=\dfrac {2\times 4000}{90}mm=88.9mm$。
步骤 3：确定截面尺寸
对工字形截面，${r}_{x}=0.43h$，${r}_{y}=0.24b$。按等稳定性要求，$h=\dfrac {{r}_{x}}{0.43}=\dfrac {88.9}{0.43}mm=207mm$，$b=\dfrac {{r}_{y}}{0.24}=\dfrac {88.9}{0.24}mm=371mm$。选择截面尺寸为 $2-10mm\times 320mm,1-8mm\times 250mm$。
步骤 4：计算截面面积和惯性矩
截面面积 $A=(2\times 320\times 10+250\times 8){mm}^{2}=8400{mm}^{2}$。惯性矩 ${l}_{x}=(\dfrac {8}{12}\times {250}^{3}+2\times 320\times 10\times {130}^{2}){mm}^{4}=1.1858\times {10}^{5}{mm}^{4}$，${l}_{y}=(\dfrac {250\times {8}^{3}}{12}+\dfrac {2\times {320}^{3}\times 10}{12})m{m}^{3}=5.4624\times {10}^{7}{mm}^{4}$。
步骤 5：计算最小回转半径
${r}_{min}={r}_{y}=\sqrt {\dfrac {1}{A}}=\sqrt {\dfrac {5.4624\times {10}^{7}}{8400}m}m=80.64mm$。
步骤 6：计算最大长细比
${\lambda }_{max}=\dfrac {{l}_{0}}{{r}_{min}}=\dfrac {8000}{80.64}=99.2\lt [ \lambda ] =120$，满足许用长细比要求。
步骤 7：查表确定稳定系数
查表得 $\varphi =0.611$。
步骤 8：计算柱的整体稳定性
柱的整体稳定性 $c=\dfrac {N}{{\rho }_{A}}=\dfrac {8\times {10}^{5}}{0.611\times 175}{mm}^{2}=155.87MPa\lt [ 0] $，满足许用应力要求。
步骤 9：计算柱的局部稳定性
翼缘板 $\dfrac {b}{{S}_{0}}=\dfrac {320}{10}=32\approx 30$，腹板 $\dfrac {{h}_{0}}{8}=\dfrac {250}{8}=31\lt 60$，满足局部稳定性要求。
柱下端固定，上端自由，计算长度系数 ${\mu }_{1}=2$。
步骤 2：计算长细比
长细比 $\lambda =\dfrac {{l}_{0}}{r}$，其中 ${l}_{0}={\mu }_{1}L$，$L$ 为柱的实际长度，$r$ 为截面的回转半径。根据题目，$L=4m$，${\mu }_{1}=2$，则 ${l}_{0}=2\times 4m=8m$。假设长细比 $\lambda =90$，则 $r=\dfrac {{\mu }_{2}L}{\lambda }=\dfrac {2\times 4000}{90}mm=88.9mm$。
步骤 3：确定截面尺寸
对工字形截面，${r}_{x}=0.43h$，${r}_{y}=0.24b$。按等稳定性要求，$h=\dfrac {{r}_{x}}{0.43}=\dfrac {88.9}{0.43}mm=207mm$，$b=\dfrac {{r}_{y}}{0.24}=\dfrac {88.9}{0.24}mm=371mm$。选择截面尺寸为 $2-10mm\times 320mm,1-8mm\times 250mm$。
步骤 4：计算截面面积和惯性矩
截面面积 $A=(2\times 320\times 10+250\times 8){mm}^{2}=8400{mm}^{2}$。惯性矩 ${l}_{x}=(\dfrac {8}{12}\times {250}^{3}+2\times 320\times 10\times {130}^{2}){mm}^{4}=1.1858\times {10}^{5}{mm}^{4}$，${l}_{y}=(\dfrac {250\times {8}^{3}}{12}+\dfrac {2\times {320}^{3}\times 10}{12})m{m}^{3}=5.4624\times {10}^{7}{mm}^{4}$。
步骤 5：计算最小回转半径
${r}_{min}={r}_{y}=\sqrt {\dfrac {1}{A}}=\sqrt {\dfrac {5.4624\times {10}^{7}}{8400}m}m=80.64mm$。
步骤 6：计算最大长细比
${\lambda }_{max}=\dfrac {{l}_{0}}{{r}_{min}}=\dfrac {8000}{80.64}=99.2\lt [ \lambda ] =120$，满足许用长细比要求。
步骤 7：查表确定稳定系数
查表得 $\varphi =0.611$。
步骤 8：计算柱的整体稳定性
柱的整体稳定性 $c=\dfrac {N}{{\rho }_{A}}=\dfrac {8\times {10}^{5}}{0.611\times 175}{mm}^{2}=155.87MPa\lt [ 0] $，满足许用应力要求。
步骤 9：计算柱的局部稳定性
翼缘板 $\dfrac {b}{{S}_{0}}=\dfrac {320}{10}=32\approx 30$，腹板 $\dfrac {{h}_{0}}{8}=\dfrac {250}{8}=31\lt 60$，满足局部稳定性要求。