题目

设总体 X sim N(mu,4)，(X_1,X_2,...;X_n) 是总体 X 的样本，令 overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_i，则 mu 的置信水平为 1-alpha 的置信区间为(). A)(overline(X)-u_((alpha)/(2))(4)/(sqrt(n)),overline(X)+u_((alpha)/(2))(4)/(sqrt(n))) B)(overline(X)-u_((alpha)/(2))(2)/(sqrt(n)),overline(X)+u_((alpha)/(2))(2)/(sqrt(n))) C)(overline(X)-u_(alpha)(4)/(sqrt(n)),overline(X)+u_(alpha)(4)/(sqrt(n))) D)(overline(X)-u_(alpha)(2)/(sqrt(n)),overline(X)+u_(alpha)(2)/(sqrt(n)))

设总体 $X \sim N(\mu,4)$，$(X_1,X_2,\cdots;X_n)$ 是总体 $X$ 的样本，令 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，则 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为().

A)$\left(\overline{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{4}{\sqrt{n}},\overline{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{4}{\sqrt{n}}\right)$

B)$\left(\overline{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{2}{\sqrt{n}},\overline{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{2}{\sqrt{n}}\right)$

C)$\left(\overline{X}-u_{\alpha}\frac{4}{\sqrt{n}},\overline{X}+u_{\alpha}\frac{4}{\sqrt{n}}\right)$

D)$\left(\overline{X}-u_{\alpha}\frac{2}{\sqrt{n}},\overline{X}+u_{\alpha}\frac{2}{\sqrt{n}}\right)$

题目解答

答案

为了确定总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间，我们从正态总体 $X \sim N(\mu, 4)$ 的样本 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 开始。样本均值 $\overline{X}$ 由下式给出： \[ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \] 由于总体方差已知为 $\sigma^2 = 4$，因此总体标准差为 $\sigma = 2$。对于正态总体，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n} = \frac{4}{n}$。因此，$\overline{X}$ 的标准差为 $\frac{2}{\sqrt{n}}$。 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间由下式给出： \[ \overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。代入 $\sigma = 2$，我们得到： \[ \overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \] 这可以写为： \[ \left( \overline{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \right) \] 在给定的选项中，正确的是： \[ \left( \overline{X} - u_{\alpha/2} \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\alpha/2} \frac{2}{\sqrt{n}} \right) \] 其中 $u_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。因此，正确答案是： \[ \boxed{\left( \overline{X} - u_{\alpha/2} \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\alpha/2} \frac{2}{\sqrt{n}} \right)} \]

解析

本题考察正态总体均值的置信区间计算，具体思路如下：

1. 明确总体分布与已知条件

总体 $X \sim N(\mu, 4)$，即总体均值为 $\mu$，总体方差 $\sigma^2 = 4$（已知），总体标准差 $\sigma = 2$。样本为 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$，样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。

2. 样本均值的分布

对于正态总体，样本均值 $\overline{X}$ 仍服从正态分布，且：
$\overline{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) = N\left( \mu, \frac{4}{n} \right)$
即 $\overline{X}$ 的标准差为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n}}$。

3. 置信区间公式

当总体方差已知时，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为：
$\overline{X} \pm u_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中 $u_{\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数（临界值），表示 $P(Z > u_{\frac{\alpha}{2}}) = \frac{\alpha}{2}$。

4. 代入参数计算

将 $\sigma = 2$ 代入公式，得：
$\overline{X} \pm u_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{n}}$
即置信区间为：
$\left( \overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}} \right)$

5. 匹配选项

对比选项，B选项完全符合。