题目
生产某种设备的固定成本为1000万元，每生产一台设备，成本增加20万元．已知需求价格函数为P（Q）=200-Q．问销售量Q为多少时，总利润L达到最大？最大利润是多少？
生产某种设备的固定成本为1000万元，每生产一台设备，成本增加20万元．已知需求价格函数为P（Q）=200-Q．问销售量Q为多少时，总利润L达到最大？最大利润是多少？
题目解答
答案
解：由题意可得，L=（200-Q）Q-1000-20Q=-Q2+180Q-1000=-（Q-90）2+7100，（0＜Q＜200），
故当Q=90时，总利润L达到最大，最大利润是7100万元．
故当Q=90时，总利润L达到最大，最大利润是7100万元．
解析
步骤 1：确定总成本函数
总成本函数由固定成本和变动成本组成。固定成本为1000万元，每生产一台设备，成本增加20万元。因此，总成本函数为C(Q) = 1000 + 20Q。
步骤 2：确定总收入函数
总收入函数由销售量Q和需求价格函数P(Q)决定。需求价格函数为P(Q) = 200 - Q。因此，总收入函数为R(Q) = Q * P(Q) = Q * (200 - Q) = 200Q - Q^2。
步骤 3：确定总利润函数
总利润函数为总收入函数减去总成本函数。因此，总利润函数为L(Q) = R(Q) - C(Q) = (200Q - Q^2) - (1000 + 20Q) = -Q^2 + 180Q - 1000。
步骤 4：求总利润函数的最大值
总利润函数L(Q) = -Q^2 + 180Q - 1000是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的横坐标为Q = -b / (2a) = -180 / (2 * -1) = 90。因此，当Q = 90时，总利润L达到最大。
步骤 5：计算最大利润
将Q = 90代入总利润函数L(Q) = -Q^2 + 180Q - 1000，得到最大利润L(90) = -(90)^2 + 180 * 90 - 1000 = -8100 + 16200 - 1000 = 7100万元。
总成本函数由固定成本和变动成本组成。固定成本为1000万元，每生产一台设备，成本增加20万元。因此，总成本函数为C(Q) = 1000 + 20Q。
步骤 2：确定总收入函数
总收入函数由销售量Q和需求价格函数P(Q)决定。需求价格函数为P(Q) = 200 - Q。因此，总收入函数为R(Q) = Q * P(Q) = Q * (200 - Q) = 200Q - Q^2。
步骤 3：确定总利润函数
总利润函数为总收入函数减去总成本函数。因此，总利润函数为L(Q) = R(Q) - C(Q) = (200Q - Q^2) - (1000 + 20Q) = -Q^2 + 180Q - 1000。
步骤 4：求总利润函数的最大值
总利润函数L(Q) = -Q^2 + 180Q - 1000是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的横坐标为Q = -b / (2a) = -180 / (2 * -1) = 90。因此，当Q = 90时，总利润L达到最大。
步骤 5：计算最大利润
将Q = 90代入总利润函数L(Q) = -Q^2 + 180Q - 1000，得到最大利润L(90) = -(90)^2 + 180 * 90 - 1000 = -8100 + 16200 - 1000 = 7100万元。