题目
设某厂某产品的需求函数为Q=116-2P，其中P(万元)为每吨产品的销售价格，Q(吨)为需求量．若生产该产品的固定成本为100(万元)，且每多生产1吨产品，成本增加2(万元)．在产销平衡的情况下：(1)求收益R与销售价格P的函数关系R(P)；(2)求成本C与销售价格P的函数关系C(P)；(3)试问如何定价，才能使工厂获得的利润最大?最大利润是多少?
设某厂某产品的需求函数为Q=116-2P，其中P(万元)为每吨产品的销售价格，Q(吨)为需求量．若生产该产品的固定成本为100(万元)，且每多生产1吨产品，成本增加2(万元)．在产销平衡的情况下：
(1)求收益R与销售价格P的函数关系R(P)；
(2)求成本C与销售价格P的函数关系C(P)；
(3)试问如何定价，才能使工厂获得的利润最大?最大利润是多少?
题目解答
答案
(1)收益函数R(P)=QP=116P-2P2． (2)成本函数C(P)=1 00+2Q=100+2(1 1 6-2 P)=332-4P． (3)利润函数L(P)=R(P)-C(P)=-332+120 P-2P2． 令L′(P)=120-4P=0，得唯一驻点P=3 0，并且L"(30)=-4﹤0． 则当价格P=30(万元)时可获得最大利润，其最大利润为L(30)=1468(万元)．
解析
步骤 1：求收益函数R(P)
收益函数R(P)是销售价格P与需求量Q的乘积。根据题目给出的需求函数Q=116-2P，可以得到收益函数R(P)=QP。
步骤 2：求成本函数C(P)
成本函数C(P)由固定成本和变动成本组成。固定成本为100万元，变动成本为每多生产1吨产品，成本增加2万元。根据需求函数Q=116-2P，可以得到成本函数C(P)=100+2Q。
步骤 3：求利润函数L(P)
利润函数L(P)是收益函数R(P)与成本函数C(P)的差。根据步骤1和步骤2得到的函数，可以得到利润函数L(P)=R(P)-C(P)。
步骤 4：求利润最大值
对利润函数L(P)求导，令导数等于0，求出驻点。然后判断驻点是否为极大值点，从而得到利润最大值。
收益函数R(P)是销售价格P与需求量Q的乘积。根据题目给出的需求函数Q=116-2P，可以得到收益函数R(P)=QP。
步骤 2：求成本函数C(P)
成本函数C(P)由固定成本和变动成本组成。固定成本为100万元，变动成本为每多生产1吨产品，成本增加2万元。根据需求函数Q=116-2P，可以得到成本函数C(P)=100+2Q。
步骤 3：求利润函数L(P)
利润函数L(P)是收益函数R(P)与成本函数C(P)的差。根据步骤1和步骤2得到的函数，可以得到利润函数L(P)=R(P)-C(P)。
步骤 4：求利润最大值
对利润函数L(P)求导，令导数等于0，求出驻点。然后判断驻点是否为极大值点，从而得到利润最大值。