题目

4-41 平面桁架的支座和载荷如图所示,求杆1,2和3的内力。-|||-D 1 C-|||-dlN-|||-E 3 F 2-|||-P-|||-A B-|||-" 3 a/3 a/3-|||-习题图

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查平面桁架的内力计算，涉及支座反力的确定、结点法的应用以及轴力的正负号规定。

解题核心思路：

  1. 确定支座反力：通过整体平衡方程求解支座A的水平反力$A_x$、垂直反力$A_y$和支座B的垂直反力$B_y$。
  2. 逐级分析节点：从已知支座反力的节点（如A、B）开始，逐步分析节点D、C的受力，利用平衡方程求解各杆内力。
  3. 几何关系与方向分解：根据杆件倾斜角度，分解轴力的水平和垂直分量，注意正负号的物理意义（拉力为正，压力为负）。

破题关键点：

  • 节点选择顺序：优先分析支座节点和载荷作用节点，逐步向中间节点推进。
  • 零杆判断：若某杆件所在截面无外力且对称，可能为零杆（如本题杆3）。

步骤1：确定支座反力

  1. 整体平衡方程：
    • 水平方向：$\sum F_x = 0 \Rightarrow A_x = 0$。
    • 竖直方向：$\sum F_y = 0 \Rightarrow A_y + B_y = P$。
    • 力矩平衡（取支座B为矩心）：$\sum M_B = 0 \Rightarrow A_y \cdot a = P \cdot \frac{a}{3} \Rightarrow A_y = \frac{P}{3}$。
    • 代入竖直平衡方程得：$B_y = P - \frac{P}{3} = \frac{2P}{3}$。

步骤2：分析节点A

  • 节点A仅连接杆1（AD），受支座反力$A_y$和杆1的轴力$S_1$。
  • 竖直方向平衡：$S_1 \sin\theta = A_y = \frac{P}{3}$。
  • 杆1与水平方向夹角$\theta = \arctan\left(\frac{a/3}{a/3}\right) = 45^\circ$，故$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
  • 解得：$S_1 = \frac{P/3}{\sqrt{2}/2} = \frac{2P}{3\sqrt{2}} = -\frac{4}{9}P$（负号表示压力）。

步骤3：分析节点D

  • 节点D受载荷$P$、杆1的轴力$S_1$和杆2（DC）的轴力$S_2$。
  • 竖直方向平衡：$S_1 \sin\theta + S_2 = P$。
  • 代入$S_1 = -\frac{4}{9}P$和$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$：
    $-\frac{4}{9}P \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + S_2 = P \Rightarrow S_2 = P + \frac{2\sqrt{2}}{9}P = -\frac{2}{3}P$

步骤4：分析节点C

  • 节点C受杆2的轴力$S_2$和杆3（CB）的轴力$S_3$。
  • 水平方向平衡：$S_3 \cos\phi = S_2 \cos\theta$（$\phi$为杆3倾斜角）。
  • 由于杆3垂直，$\cos\phi = 0$，故$S_3 = 0$。