题目

某办公楼钢筋混凝土矩形截面简支梁，安全等级为二级，计算跨度 L_0=6(m)，作用在梁上的永久荷载（含自重）标准值 g_k=15(kN/m)，可变荷载标准值 q_k=6(kN/m)，试分别计算按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计时梁的跨中弯矩设计值。【解】(1) 均布荷载标准值 g_k 和 q_k 作用下梁的跨中弯矩标准值(2) 按承载能力极限状态设计时梁跨中弯矩设计值(3) 按正常使用极限状态设计时梁跨中弯矩值

某办公楼钢筋混凝土矩形截面简支梁，安全等级为二级，计算跨度 $L_0=6\text{m}$，作用在梁上的永久荷载（含自重）标准值 $g_k=15\text{kN/m}$，可变荷载标准值 $q_k=6\text{kN/m}$，试分别计算按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计时梁的跨中弯矩设计值。 【解】(1) 均布荷载标准值 $g_k$ 和 $q_k$ 作用下梁的跨中弯矩标准值 (2) 按承载能力极限状态设计时梁跨中弯矩设计值 (3) 按正常使用极限状态设计时梁跨中弯矩值

题目解答

答案

1. 跨中弯矩标准值： \[ M_k = \frac{1}{8} (g_k + q_k) L_0^2 = \frac{1}{8} \times 21 \times 36 = 94.5 \, \text{kN·m} \] 2. 承载能力极限状态下的弯矩设计值： \[ M = \frac{1}{8} (1.2 g_k + 1.4 q_k) L_0^2 = \frac{1}{8} \times 26.4 \times 36 = 118.8 \, \text{kN·m} \] 3. 正常使用极限状态下的弯矩值： \[ M_{\text{ser}} = \frac{1}{8} (g_k + 0.7 q_k) L_0^2 = \frac{1}{8} \times 19.2 \times 36 = 86.4 \, \text{kN·m} \] 最终结果： - $ M_k = 94.5 \, \text{kN·m} $； - $ M = 118.8 \, \text{kN·m} $； - $ M_{\text{ser}} = 86.4 \, \text{kN·m} $。

解析

考查要点：本题主要考查混凝土结构中梁的弯矩设计值计算，涉及承载能力极限状态和正常使用极限状态的荷载组合方法。

解题核心思路：

  1. 承载能力极限状态：需考虑荷载的最不利组合，永久荷载和可变荷载分别乘以对应的分项系数（γG=1.2，γQ=1.4）。
  2. 正常使用极限状态：需考虑荷载的标准组合或准永久组合，可变荷载通常乘以较小的组合系数（本题中为0.7）。
  3. 简支梁跨中弯矩公式：均布荷载作用下，跨中弯矩为 $M = \frac{1}{8} q L_0^2$，其中$q$为荷载组合值。

破题关键点：

  • 分项系数的选取：明确两种极限状态对应的荷载组合方式。
  • 公式应用：正确代入荷载组合值到弯矩公式中。

(1) 跨中弯矩标准值

均布荷载标准值为 $g_k + q_k = 15 + 6 = 21 \, \text{kN/m}$，代入简支梁弯矩公式：
$M_k = \frac{1}{8} (g_k + q_k) L_0^2 = \frac{1}{8} \times 21 \times 6^2 = 94.5 \, \text{kN·m}.$

(2) 承载能力极限状态设计值

荷载组合值为 $1.2g_k + 1.4q_k = 1.2 \times 15 + 1.4 \times 6 = 26.4 \, \text{kN/m}$，代入公式：
$M = \frac{1}{8} \times 26.4 \times 6^2 = 118.8 \, \text{kN·m}.$

(3) 正常使用极限状态设计值

荷载组合值为 $g_k + 0.7q_k = 15 + 0.7 \times 6 = 19.2 \, \text{kN/m}$，代入公式：
$M_{\text{ser}} = \frac{1}{8} \times 19.2 \times 6^2 = 86.4 \, \text{kN·m}.$