题目
4-29 已知图示铸铁简支梁的 _({l)_(1)}=645.8times (10)^6(mm)^4 E=120GPa ,许用拉应力 [ 0,] =-|||-30MPa,许用压应力 [ (sigma )_(e)] =90MPa 。试求:-|||-(1)许可荷载[F];-|||-(2)在许可荷载作用下,梁下边缘的总伸长量。-|||-100-|||-F 50-|||-C z-|||-A C.-|||-B (形心) 图-|||-1m 1m z1-|||-200-|||-习题 4-29 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定梁的截面特性
梁的截面惯性矩 ${I}_{{l}_{1}}=645.8\times {10}^{6}{mm}^{4}$，需要将其转换为 ${m}^{4}$ 单位，即 ${I}_{{l}_{1}}=645.8\times {10}^{-6}{m}^{4}$。
步骤 2：计算梁的弯矩
梁在中点处受力F，因此在中点处的弯矩最大，为 $M_{max} = F \times \frac{L}{2}$，其中L为梁的长度，即2m。因此，$M_{max} = F \times 1m$。
步骤 3：计算梁的许用弯矩
根据许用拉应力和许用压应力，可以计算出梁的许用弯矩。对于铸铁梁，通常拉应力和压应力的许用值不同，因此需要分别计算。
- 对于拉应力，$M_{允许拉} = [ \sigma_{t} ] \times I_{l_{1}} / c$，其中$c$为截面的中性轴到最远边缘的距离，对于矩形截面，$c = h/2$，其中$h$为截面高度。
- 对于压应力，$M_{允许压} = [ \sigma_{c} ] \times I_{l_{1}} / c$。
- 许用荷载$F$由较小的许用弯矩决定。
步骤 4：计算梁的总伸长量
在许可荷载作用下，梁的总伸长量可以通过计算梁的应变能来确定。应变能$U$与弯矩$M$、梁的长度$L$、截面惯性矩$I$和弹性模量$E$有关，公式为$U = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \frac{M^2}{EI} dx$。对于简支梁，可以简化为$U = \frac{F^2 L^3}{48EI}$。总伸长量$\Delta l$与应变能$U$和梁的截面积$A$有关，公式为$\Delta l = \frac{U}{EA}$。
梁的截面惯性矩 ${I}_{{l}_{1}}=645.8\times {10}^{6}{mm}^{4}$，需要将其转换为 ${m}^{4}$ 单位，即 ${I}_{{l}_{1}}=645.8\times {10}^{-6}{m}^{4}$。
步骤 2：计算梁的弯矩
梁在中点处受力F，因此在中点处的弯矩最大，为 $M_{max} = F \times \frac{L}{2}$，其中L为梁的长度，即2m。因此，$M_{max} = F \times 1m$。
步骤 3：计算梁的许用弯矩
根据许用拉应力和许用压应力，可以计算出梁的许用弯矩。对于铸铁梁，通常拉应力和压应力的许用值不同，因此需要分别计算。
- 对于拉应力，$M_{允许拉} = [ \sigma_{t} ] \times I_{l_{1}} / c$，其中$c$为截面的中性轴到最远边缘的距离，对于矩形截面，$c = h/2$，其中$h$为截面高度。
- 对于压应力，$M_{允许压} = [ \sigma_{c} ] \times I_{l_{1}} / c$。
- 许用荷载$F$由较小的许用弯矩决定。
步骤 4：计算梁的总伸长量
在许可荷载作用下，梁的总伸长量可以通过计算梁的应变能来确定。应变能$U$与弯矩$M$、梁的长度$L$、截面惯性矩$I$和弹性模量$E$有关，公式为$U = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \frac{M^2}{EI} dx$。对于简支梁，可以简化为$U = \frac{F^2 L^3}{48EI}$。总伸长量$\Delta l$与应变能$U$和梁的截面积$A$有关，公式为$\Delta l = \frac{U}{EA}$。