[应用题]某家银行准备新设某种定期存款业务,假设存款量与利率成正比,经预测与存款量相同的贷款投资的收益率为16%,假定客户所有存款全部贷出,那么存款利率定为多少时,银行能获得最大利润?我的回答:

考查要点：本题主要考查函数建模与利用导数求极值的能力，需要将实际问题转化为数学问题，并通过求导找到最大利润点。

解题核心思路：

1. 建立利润函数：根据题意，存款量与利率成正比，贷款收益与存款利息支出构成利润。
2. 求导找极值：对利润函数求导，找到导数为零的点，并通过二阶导数验证是否为极大值。
3. 实际意义验证：确认数学解符合实际问题的约束条件。

破题关键点：

• 正比关系：存款量 $M = kx$（$k>0$）。
• 利润构成：贷款收益 $0.16M$ 减去利息支出 $xM$。
• 二次函数极值：开口向下的抛物线顶点即为最大值点。

步骤1：设定变量与建立关系

设存款利率为 $x$，存款量为 $M$。根据题意，存款量与利率成正比，可得：
$M = kx \quad (k > 0)$

步骤2：计算贷款收益与利息支出

• 贷款收益：将全部存款贷出，收益率为 $16\%$，因此收益为：
  $0.16M = 0.16kx$
• 利息支出：银行需支付给存款客户的利息为：
  $xM = x \cdot kx = kx^2$

步骤3：建立利润函数

利润 $L$ 为贷款收益减去利息支出：
$L = 0.16kx - kx^2$

步骤4：求导找极值点

对 $L$ 求导并令导数为零：
$L' = 0.16k - 2kx = 0 \implies x = \frac{0.16k}{2k} = 0.08$

步骤5：验证极大值

二阶导数为：
$L'' = -2k$
由于 $k > 0$，故 $L''(0.08) = -2k < 0$，说明 $x = 0.08$ 是极大值点。

步骤6：实际意义确认

利率 $x = 0.08$ 对应 $8\%$，符合实际问题中利率的合理范围，且为唯一极值点，故为最大值点。