题目
某工厂生产某种零件,按照规格该种零件的直径应该为4.5cm,长期积累的数据资料表明,零件的直径服从正态分布,现在从一批零件中抽得容量为5的样本,测得其直径(单位:cm)分别为4,4.5,5,5.5,6,试根据抽样结果判断零件的平均直径是否符合规定要求,显著性水平取值为0.05。注:可能需要使用的值Z0.05=1.645, Z0.025=1.96, sqrt (5)=2.236,sqrt (5)=2.236t0.025(4)=2.776, t0.05(4)=2.132, t0.025(5) =2.571,t0.05(5)=2.015
某工厂生产某种零件,按照规格该种零件的直径应该为4.5cm,长期积累的数据资料表明,零件的直径服从正态分布,现在从一批零件中抽得容量为5的样本,测得其直径(单位:cm)分别为4,4.5,5,5.5,6,试根据抽样结果判断零件的平均直径是否符合规定要求,显著性水平取值为0.05。
注:可能需要使用的值
Z0.05=1.645, Z0.025=1.96, 
,
t0.025(4)=2.776, t0.05(4)=2.132, t0.025(5) =2.571,t0.05(5)=2.015
题目解答
答案
最佳答案
解:首先根据题意建立假设:
解析
步骤 1：建立假设
根据题意，我们需要检验零件的平均直径是否符合规定要求。因此，我们建立以下假设：
- 原假设 ${H}_{0}:\mu =4.5$，即零件的平均直径符合规定要求。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \neq 4.5$，即零件的平均直径不符合规定要求。
步骤 2：计算样本均值和样本方差
从样本数据中，我们计算样本均值 $\overline {x}$ 和样本方差 ${s}^{2}$。
- 样本均值 $\overline {x}=\dfrac {4+4.5+5+5.5+6}{5}=5(cm)$
- 样本方差 ${s}^{2}=\dfrac {(4-5)^{2}+(4.5-5)^{2}+(5-5)^{2}+(5.5-5)^{2}+(6-5)^{2}}{5-1}=0.625$
步骤 3：构建t检验统计量
由于总体为正态分布，且不知道总体方差，样本为小样本，因此需要构建t检验统计量。
- t检验统计量 $t=\dfrac {\overline {x}-4.5}{s/\sqrt {5}}=\dfrac {5-4.5}{0.791/2.236}=1.4134$
步骤 4：判断检验值是否落在拒绝域内
根据显著性水平0.05，自由度为4，查t分布表得到临界值 $t_{0.025}(4)=2.776$。
- 由于 $-2.776\lt t=1.4134\lt 2.776$，检验值落在非拒绝域内，因此在0.05的显著性水平下无法拒绝原假设。
根据题意，我们需要检验零件的平均直径是否符合规定要求。因此，我们建立以下假设：
- 原假设 ${H}_{0}:\mu =4.5$，即零件的平均直径符合规定要求。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \neq 4.5$，即零件的平均直径不符合规定要求。
步骤 2：计算样本均值和样本方差
从样本数据中，我们计算样本均值 $\overline {x}$ 和样本方差 ${s}^{2}$。
- 样本均值 $\overline {x}=\dfrac {4+4.5+5+5.5+6}{5}=5(cm)$
- 样本方差 ${s}^{2}=\dfrac {(4-5)^{2}+(4.5-5)^{2}+(5-5)^{2}+(5.5-5)^{2}+(6-5)^{2}}{5-1}=0.625$
步骤 3：构建t检验统计量
由于总体为正态分布，且不知道总体方差，样本为小样本，因此需要构建t检验统计量。
- t检验统计量 $t=\dfrac {\overline {x}-4.5}{s/\sqrt {5}}=\dfrac {5-4.5}{0.791/2.236}=1.4134$
步骤 4：判断检验值是否落在拒绝域内
根据显著性水平0.05，自由度为4，查t分布表得到临界值 $t_{0.025}(4)=2.776$。
- 由于 $-2.776\lt t=1.4134\lt 2.776$，检验值落在非拒绝域内，因此在0.05的显著性水平下无法拒绝原假设。