题目

完全竞争产业中某厂商的成本函数为TC=q3－6q2+30q+40 ,假设产品的价格为66元.（1）求利润最大时的产量及利润总额;（2）若市场价格为30 元,在此价格下,厂商是否会发生亏损?如果会,最小亏损额为多少?（3）该厂商在什么情况下才会退出该产业?

完全竞争产业中某厂商的成本函数为TC=q3－6q2+30q+40 ,假设产品的价格为66元.

（1）求利润最大时的产量及利润总额;

（2）若市场价格为30 元,在此价格下,厂商是否会发生亏损?如果会,最小亏损额为多少?

（3）该厂商在什么情况下才会退出该产业?

题目解答

(1)根据利润最大化条件P=MR=MC 可算出q=6 π=176

(2)当短期均衡时, P=MR=MC ,可得q=4,AC=q2－6q+30+40/q=32 可知单位产品的亏损额为2元. 因此总的亏损额为8元

(3)AVC=q2－6q+30 MC=3q2－12q+30

根据AVC=MC,求出实现最低平均可变成本时,产出q=3

代入P=AVC=q2－6q+30,可得p=21

即当p<21时该厂商退出该产业。

本题主要考察完全竞争厂商的利润最大化决策、短期亏损判断及退出条件，核心思路是利用完全竞争厂商“边际收益等于边际成本（$P=MR=MC$）”的利润最大化条件，结合成本函数分析产量、利润及停产边界。

（1）利润最大时的产量及利润总额

完全竞争厂商利润最大化条件为 $P=MR=MC$。

步骤1：计算边际成本（$MC$）
总成本函数 $TC=q^3-6q^2+30q+40$，对 $q$ 求导得：
$MC=\frac{dTC}{dq}=3q^2-12q+30$
步骤2：求解利润最大化产量
已知 $P=66$，令 $P=MC$：
$3q^2-12q+30=66 \implies 3q^2-12q-36=0 \implies q^2-4q-12=0$
解得 $q=6$（舍去负根）。
步骤3：计算利润总额
总收益 $TR=P\cdot\cdot q=66\times6=396$，总成本 $TC=6^3-6\times6^2+30\times6+40=216-2166+180+40=216-216+180+40=176$？
修正：$TC=6^3-6\times6^2+30\times6+40=216-216+180+40=220$？
不，$6^3=216$，$6q^2=6×36=216$，$30q=180$，故 $TC=216-216+180+40=220$，利润 $π=TR-TC=396-220=176$。

（2）市场价格$P=30$时的亏损情况

步骤1：求解短期均衡产量
令 $P=MC$：
$3q^2-12q+30=30 \implies 3q^2-12q=0 \implies q(q-4)=0$
解得 $q=4$（舍去$q=0$，因厂商短期可能继续生产）。
步骤2：计算平均成本（$AC$）判断亏损
平均成本 $AC=\frac{TC}{q}=q^2-6q+30+\frac{40}{q}$，代入$q=4$：
$AC=4^2-6\times4+30+\frac{40}{4}=16-24+30+10=32$
单位亏损 $AC-P=32-30=2$，总亏损 $2\times4=8$。
关键关键：判断是否继续生产
平均可变成本 $AVC=q^2-6q+30$（$TVC=q^3-6q^2+30q$），代入$q=4$得$AVC=164-96+30=-2$？修正：$AVC=4^2-6×4+30=16-24+30=22$，$P=30>AVC=22$，故厂商继续生产（亏损但小于固定成本）。

（3）厂商退出产业的条件**

厂商短期退出条件：$P<$最低平均可变成本（$AVC_{\text{min}}$）。