题目

截面尺寸 b times h = 200(mm) times 500(mm) 的钢筋混凝土矩形截面梁，采用 C30 混凝土和 HPB300 级钢筋，箍筋直径 8mm（HPB300 级钢筋）。I 类环境条件，安全等级为二级，设计使用年限 50 年，最大弯矩设计值 M_d = 145(kN) cdot (m)。试进行截面设计（单筋截面）。

截面尺寸 $b \times h = 200\text{mm} \times 500\text{mm}$ 的钢筋混凝土矩形截面梁，采用 C30 混凝土和 HPB300 级钢筋，箍筋直径 8mm（HPB300 级钢筋）。I 类环境条件，安全等级为二级，设计使用年限 50 年，最大弯矩设计值 $M_d = 145\text{kN} \cdot \text{m}$。试进行截面设计（单筋截面）。

题目解答

答案

根据题目条件，$ h_0 = 465 \, \text{mm} $，$ \xi_b = 0.614 $。 由 $ M_d = 145 \, \text{kN·m} $，得： \[ \xi = 0.2725, \quad A_s = \frac{f_c b h_0 \xi}{f_s / \alpha_s} = \frac{14.3 \times 200 \times 465 \times 0.2725}{270} \approx 1,340 \, \text{mm}^2 \] 可选方案： 1. 4 根 $ \phi 22 $（$ A_s = 1,520 \, \text{mm}^2 $）。 2. 5 根 $ \phi 20 $（$ A_s = 1,570 \, \text{mm}^2 $）。 均满足 $ A_s \geq 1,340 \, \text{mm}^2 $。 最终答案：受拉钢筋可采用 4 根 $ \phi 22 $ 或 5 根 $ \phi 20 $ 的 HPB300 钢筋。

解析

本题考查钢筋混凝土矩形截面梁的单筋截面设计，解题思路是先根据已知条件确定相关参数，然后计算相对受压区高度，判断是否为适筋梁，最后计算受拉钢筋面积并选择合适的钢筋方案。

  1. 确定相关参数
    • 已知截面尺寸$b = 200\text{mm}$，$h = 500\text{mm}$，假设受拉钢筋合力点至截面受拉边缘的距离$a_s = 35\text{mm}$，则有效高度$h_0=h - a_s=500 - 35 = 465\text{mm}$。
    • 对于C30混凝土，轴心抗压强度设计值$f_c = 14.3\text{N/mm}^2$；对于HPB300级钢筋，抗拉强度设计值$f_s = 270\text{N/mm}^2$，相对界限受压区高度$\xi_b = 0.614$。
  2. 计算相对受压区高度$\xi$
    • 根据单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算公式$M_d=\alpha_1f_cbh_0^2\xi(1 - 0.5\xi)$，其中$\alpha_1 = 1.0$（C50及以下混凝土）。
    • 已知$M_d = 145\times10^6\text{N}\cdot\text{mm}$，将$M_d$、$f_c$、$b$、$h_0$代入公式可得：
      $\begin{align*}145\times10^6&=1.0\times14.3\times200\times465^2\times\xi(1 - 0.5\xi)\\145\times10^6&=14.3\times200\times465^2\times\xi - 14.3\times200\times465^2\times0.5\xi^2\\145\times10^6&=6.33\times10^8\times\xi - 3.165\times10^8\times\xi^2\\3.165\times10^8\times\xi^2 - 6.33\times10^8\times\xi + 145\times10^6&=0\end{align*}$
    • 这是一个一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的形式，其中$a = 3.165\times10^8$，$b = - 6.33\times10^8$，$c = 145\times10^6$。
    • 根据一元二次方程求根公式$\xi=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$可得：
      $\begin{align*}\xi&=\frac{6.33\times10^8\pm\sqrt{(-6.33\times10^8)^2 - 4\times3.165\times10^8\times145\times10^6}}{2\times3.165\times10^8}\\&=\frac{6.33\times10^8\pm\sqrt{3.997\times10^{17}-1.83\times10^{17}}}{6.33\times10^8}\\&=\frac{6.33\times10^8\pm\sqrt{2.167\times10^{17}}}{6.33\times10^8}\\&=\frac{6.33\times10^8\pm4.655\times10^8}{6.33\times10^8}\end{align*}$
    • 解得$\xi_1=\frac{6.33\times10^8 + 4.655\times10^8}{6.33\times10^8}\approx1.71$（舍去，因为$\xi>\xi_b$为超筋梁），$\xi_2=\frac{6.33\times10^8 - 4.655\times10^8}{6.33\times10^8}\approx0.2725$。
  3. 计算受拉钢筋面积$A_s$
    • 根据公式$A_s=\frac{f_cbh_0\xi}{f_s}$，将$f_c = 14.3\text{N/mm}^2$，$b = 200\text{mm}$，$h_0 = 465\text{mm}$，$\xi = 0.2725$，$f_s = 270\text{N/mm}^2$代入可得：
      $\begin{align*}A_s&=\frac{14.3\times200\times465\times0.2725}{270}\\&=\frac{14.3\times200\times465\times0.2725}{270}\\&=\frac{363732.25}{270}\\&\approx1340\text{mm}^2\end{align*}$
  4. 选择钢筋方案
    • 方案一：选用4根$\phi22$的钢筋，根据钢筋面积计算公式$A_s=\frac{\pi d^2}{4}n$（$d$为钢筋直径，$n$为钢筋根数），可得$A_s=\frac{\pi\times22^2}{4}\times4\approx1520\text{mm}^2$，满足$A_s\geq1340\text{mm}^2$。
    • 方案二：选用5根$\phi20$的钢筋，$A_s=\frac{\pi\times20^2}{4}\times5\approx1570\text{mm}^2$，满足$A_s\geq1340\text{mm}^2$。