题目

由AC和CD构成的复合梁通过铰链C连接,它的支承和受力如题 4-16 图所示。已知-|||-均布载荷集度 =10kN/m, 力偶 =40kNcdot m ,a=2m, 不计梁重,试求支座A、B、D-|||-的约束力和铰链C所受的力。-|||-q M-|||-A D-|||-物, B C "-|||-a a a a

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查复合梁的静力平衡分析，涉及平面平行力系的平衡方程应用，以及通过分段法求解约束力和内力。

解题核心思路：

  1. 分段分析：将复合梁分为CD杆和AC杆两部分，分别建立平衡方程。
  2. 力系简化：对均布载荷进行积分求合力，并计算其对指定点的力矩。
  3. 平衡方程：利用平面平行力系的平衡条件（ΣF=0，ΣM=0）逐级求解未知约束力。

破题关键点：

  • CD杆分析：通过力矩平衡方程求支座D的约束力$F_D$，再通过力平衡求铰链C的力$F_C$。
  • AC杆分析：将$F_C$作为已知内力，结合均布载荷和支座约束力，求解A、B的约束力$F_A$、$F_B$。

分析CD杆

建立平衡方程

  1. 力矩平衡方程（以C为矩心）：
    $\sum M_C(F) = 0 \implies -\int_0^a q x \, dx + M - F_D \cdot 2a = 0$
    积分计算均布载荷的合力矩：
    $\int_0^a q x \, dx = \frac{1}{2} q a^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2 = 20 \, \text{kN·m}$
    代入方程：
    $-20 + 40 - F_D \cdot 4 = 0 \implies F_D = 5 \, \text{kN}$

  2. 力平衡方程（沿y轴）：
    $\sum F_y = 0 \implies F_C - \int_0^a q \, dx - F_D = 0$
    均布载荷总和：
    $\int_0^a q \, dx = q a = 10 \cdot 2 = 20 \, \text{kN}$
    代入方程：
    $F_C - 20 - 5 = 0 \implies F_C = 25 \, \text{kN}$

分析AC杆

建立平衡方程

  1. 力矩平衡方程（以B为矩心）：
    $\sum M_B(F) = 0 \implies F_A \cdot a - \int_0^a q x \, dx - F_C \cdot a = 0$
    积分计算均布载荷的合力矩：
    $\int_0^a q x \, dx = \frac{1}{2} q a^2 = 20 \, \text{kN·m}$
    代入方程：
    $F_A \cdot 2 - 20 - 25 \cdot 2 = 0 \implies F_A = 35 \, \text{kN}$

  2. 力平衡方程（沿y轴）：
    $\sum F_y = 0 \implies -F_A - \int_0^a q \, dx + F_B - F_C = 0$
    代入已知值：
    $-35 - 20 + F_B - 25 = 0 \implies F_B = 80 \, \text{kN}$