16. 设 sim N(0,1) ,求:(1) =(X)^2;

步骤 1：确定 $X$ 的分布
$X$ 服从标准正态分布，即 $X \sim N(0,1)$。这意味着 $X$ 的概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
$$
步骤 2：求 $Y = X^2$ 的分布函数
设 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(y)$，则有：
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)
$$
步骤 3：分情况讨论
1. 当 $y \leq 0$ 时，$P(X^2 \leq y) = 0$，因为 $X^2$ 总是非负的。
2. 当 $y > 0$ 时，$P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})$。由于 $X$ 服从标准正态分布，我们可以利用标准正态分布的性质来计算这个概率。
步骤 4：计算 $F_Y(y)$
当 $y > 0$ 时，$F_Y(y)$ 可以表示为：
$$
F_Y(y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx
$$
步骤 5：求 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 可以通过求 $F_Y(y)$ 的导数得到：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx
$$
利用 Leibniz 积分法则，我们得到：
$$
f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-\frac{y}{2}}
$$