题目

17.设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P＝60－Q/1000，（P是单价，单位：元；Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（Ⅰ）该商品的边际利润；（Ⅱ）当P＝50时的边际利润，并解释其经济意义；（Ⅲ）使得利润最大的定价P。

17.

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P＝60－Q/1000，（P是单价，单位：元；Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：

（Ⅰ）该商品的边际利润；

（Ⅱ）当P＝50时的边际利润，并解释其经济意义；

（Ⅲ）使得利润最大的定价P。

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本题解析：

（Ⅰ）设利润为y，则y＝PQ－（6000＋20Q）＝40Q－Q2/1000－6000，边际利润为y′＝40－Q/500。

（Ⅱ）当P＝50时，Q＝10000，边际利润为20，其经济意义为：当P＝50时，每增加1件的销量可以增加20元的利润。

（Ⅲ）利润最大化的条件是边际收益等于边际成本。令y′＝0，得Q＝20000，P＝60－20000/1000＝40（元）。

解析

考查要点：本题主要考查利润函数的构建、边际利润的计算以及利润最大化条件的应用。
解题思路：

  1. 利润函数由总收入（价格×销量）减去总成本（固定成本+可变成本）构成；
  2. 边际利润是对利润函数关于销量求导的结果；
  3. 利润最大化需通过求导找到极值点，并结合价格函数确定最优定价。
    关键点：正确代入价格函数，准确求导，理解边际利润的经济意义。

（Ⅰ）求边际利润

  1. 构建利润函数：
    利润 $y = \text{总收入} - \text{总成本} = PQ - (6000 + 20Q)$。
    代入价格函数 $P = 60 - \frac{Q}{1000}$，得：
    $y = \left(60 - \frac{Q}{1000}\right)Q - 6000 - 20Q = 40Q - \frac{Q^2}{1000} - 6000.$
  2. 求导得边际利润：
    对 $Q$ 求导，得：
    $y' = 40 - \frac{Q}{500}.$

（Ⅱ）当 $P=50$ 时的边际利润

  1. 求对应销量 $Q$：
    由 $P = 60 - \frac{Q}{1000}$，当 $P=50$ 时：
    $50 = 60 - \frac{Q}{1000} \implies Q = 10000.$
  2. 代入边际利润函数：
    $y' = 40 - \frac{10000}{500} = 20.$
  3. 经济意义：当销量为 $10000$ 件时，每增加 $1$ 件销量，利润增加 $20$ 元。

（Ⅲ）利润最大化的定价 $P$

  1. 求利润最大值条件：
    令边际利润 $y' = 0$，得：
    $40 - \frac{Q}{500} = 0 \implies Q = 20000.$
  2. 代入价格函数求 $P$：
    $P = 60 - \frac{20000}{1000} = 40 \, \text{元}.$