题目
-24 如图(a)所示,有一自动卸货矿车,满载时的质量为m′,从与水平成倾角α=30.0°斜面上的点A 由静止下滑.设斜面对车的阻力为车重的0.25 倍,矿车下滑距离l 时,与缓冲弹簧一道沿斜面运动.当矿车使弹簧产生最大压缩形变时,矿车自动卸货,然后矿车借助弹簧的弹性力作用,使之返回原位置A 再装货.试问要完成这一过程,空载时与满载时车的质量之比应为多大?
-24 如图(a)所示,有一自动卸货矿车,满载时的质量为m′,从与水平成倾角α=30.0°斜面上的点A 由静止下滑.设斜面对车的阻力为车重的0.25 倍,矿车下滑距离l 时,与缓冲弹簧一道沿斜面运动.当矿车使弹簧产生最大压缩形变时,矿车自动卸货,然后矿车借助弹簧的弹性力作用,使之返回原位置A 再装货.试问要完成这一过程,空载时与满载时车的质量之比应为多大?
题目解答
答案
分析 矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、阻力和支持力作用.若取矿车、地球和弹簧为系统,支持力不作功,重力、弹力为保守力,而阻力为非保守力.矿车在下滑和上行两过程中,存在非保守力作功,系统不满足机械能守恒的条件,因此,可应用功能原理去求解.在确定重力势能、弹性势能时,应注意势能零点的选取,常常选取弹簧原长时的位置为重力势能、弹性势能共同的零点,这样做对解题比较方便.解 取沿斜面向上为x 轴正方向.弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点O.矿车在下滑和上行的全过程中,按题意,摩擦力所作的功为Wｆ =(0.25mg +0.25m′g)(l +x) (1)式中m′和m 分别为矿车满载和空载时的质量,x 为弹簧最大被压缩量.根据功能原理,在矿车运动的全过程中,摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值,故有Wｆ =-ΔE =-(ΔEP+ΔEｋ )由于矿车返回原位时速度为零,故ΔEｋ=0;而ΔEP=(m -m′) g(l +x) sinα,故有Wｆ =-(m -m′) g(l +x) sinα (2)由式(1)、(2)可解得
解析
步骤 1：确定矿车在下滑和上行过程中受到的力
矿车在下滑和上行过程中受到重力、弹力、阻力和支持力的作用。重力和弹力为保守力，而阻力为非保守力。支持力不作功，因此在计算机械能时可以忽略。
步骤 2：应用功能原理
在矿车运动的全过程中，摩擦力所作的功等于系统机械能增量的负值。摩擦力所作的功为：
\[ W_{f} = (0.25mg + 0.25m'g)(l + x) \]
式中，\( m' \) 和 \( m \) 分别为矿车满载和空载时的质量，\( x \) 为弹簧最大被压缩量。
步骤 3：计算机械能增量
矿车返回原位时速度为零，因此动能增量为零。重力势能增量为：
\[ \Delta E_{P} = (m - m')g(l + x)\sin\alpha \]
根据功能原理，摩擦力所作的功等于系统机械能增量的负值，因此有：
\[ W_{f} = -(m - m')g(l + x)\sin\alpha \]
步骤 4：求解质量比
将步骤 2 和步骤 3 的结果代入，得到：
\[ (0.25mg + 0.25m'g)(l + x) = -(m - m')g(l + x)\sin\alpha \]
化简得：
\[ 0.25(m + m') = -(m - m')\sin\alpha \]
代入 \(\sin\alpha = \sin30.0^\circ = 0.5\)，得到：
\[ 0.25(m + m') = -0.5(m - m') \]
化简得：
\[ 0.25m + 0.25m' = -0.5m + 0.5m' \]
\[ 0.75m = 0.25m' \]
\[ m' = 3m \]
因此，空载时与满载时车的质量之比为：
\[ \frac{m}{m'} = \frac{1}{3} \]
矿车在下滑和上行过程中受到重力、弹力、阻力和支持力的作用。重力和弹力为保守力，而阻力为非保守力。支持力不作功，因此在计算机械能时可以忽略。
步骤 2：应用功能原理
在矿车运动的全过程中，摩擦力所作的功等于系统机械能增量的负值。摩擦力所作的功为：
\[ W_{f} = (0.25mg + 0.25m'g)(l + x) \]
式中，\( m' \) 和 \( m \) 分别为矿车满载和空载时的质量，\( x \) 为弹簧最大被压缩量。
步骤 3：计算机械能增量
矿车返回原位时速度为零，因此动能增量为零。重力势能增量为：
\[ \Delta E_{P} = (m - m')g(l + x)\sin\alpha \]
根据功能原理，摩擦力所作的功等于系统机械能增量的负值，因此有：
\[ W_{f} = -(m - m')g(l + x)\sin\alpha \]
步骤 4：求解质量比
将步骤 2 和步骤 3 的结果代入，得到：
\[ (0.25mg + 0.25m'g)(l + x) = -(m - m')g(l + x)\sin\alpha \]
化简得：
\[ 0.25(m + m') = -(m - m')\sin\alpha \]
代入 \(\sin\alpha = \sin30.0^\circ = 0.5\)，得到：
\[ 0.25(m + m') = -0.5(m - m') \]
化简得：
\[ 0.25m + 0.25m' = -0.5m + 0.5m' \]
\[ 0.75m = 0.25m' \]
\[ m' = 3m \]
因此，空载时与满载时车的质量之比为：
\[ \frac{m}{m'} = \frac{1}{3} \]