题目

一钢筋混凝土矩形梁截面尺寸 b times h = 250 , (mm) times 500 , (mm)，设计工作年限为 50 年，环境类别为一类，混凝土强度等级 C30，HRB 400 级钢筋，弯矩设计值 M = 125 , (kN) cdot (m)。试计算受拉钢筋截面面积，并绘配筋图。

一钢筋混凝土矩形梁截面尺寸 $b \times h = 250 \, \text{mm} \times 500 \, \text{mm}$，设计工作年限为 50 年，环境类别为一类，混凝土强度等级 C30，HRB 400 级钢筋，弯矩设计值 $M = 125 \, \text{kN} \cdot \text{m}$。试计算受拉钢筋截面面积，并绘配筋图。

题目解答

答案

根据题目条件，$ b = 250 \, \text{mm} $，$ h = 500 \, \text{mm} $，$ h_0 = 465 \, \text{mm} $，$ M = 125 \, \text{kN·m} $。 1. 计算 $ \alpha_s = \frac{M}{\alpha_1 f_c b h_0^2} = 0.1617 $。 2. 解得 $ \xi = 0.1774 < \xi_b = 0.518 $，为适筋梁。 3. 受拉钢筋面积： \[ A_s = \frac{\alpha_1 f_c b h_0 \xi}{f_y} = \frac{14.3 \times 250 \times 465 \times 0.1774}{360} \approx 819.2 \, \text{mm}^2 \] 4. 选用3根 $ \phi 20 $ 钢筋，$ A_s = 942.48 \, \text{mm}^2 > 819.2 \, \text{mm}^2 $，满足要求。 5. 最小配筋率 $ \rho = 0.81\% > 0.215\% $，符合规范。 6. 相对受压区高度 $ \xi = 0.204 < 0.518 $，满足适筋梁条件。 最终配筋：3根 $ \phi 20 $，$ A_s = 942.48 \, \text{mm}^2 $。 配筋图： ``` 500 ---- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ---- 250 ``` 底部3根 $ \phi 20 $，间距75mm，保护层20mm。

解析

本题主要考察钢筋混凝土矩形梁受拉钢筋截面面积的计算以及配筋图的绘制，解题思路是先根据已知条件确定相关参数，然后通过公式计算相对相对受压区高度判断梁的类型，接着计算受拉钢筋面积，再根据计算结果选择合适的钢筋规格并进行配筋率的验算，最后绘制配筋图。

  1. 确定相关参数：
    • 已知梁截面尺寸$b = 2550 \, \text{mm}$，$h = 500 \, \text{mm}$，设计工作年限为 50 年，环境类别为一类，混凝土强度等级 C30，HRB 400 级钢筋，弯矩设计值$M = 125 \, \text{kN} \cdot \text{m}=125\times10^{6} \, \text{N}\cdot\text{mm}$。
    • 对于 C30 混凝土，$\alpha_1 = 1.0$，$f_c = 14.3 \, \text{N/mm}^2$；对于 HRB 400 级钢筋，$f_y = 360 \, \text{N/mm}^2$，$\xi_b = 0.51774$。
    • 假设受拉钢筋合力点至截面受拉边缘的距离$a_s = 35 \, \text{cm}=30 \, \text{mm}$，则有效高度$h_0 = h - a_s = = 500 - 30 = 470 \, \text{mm}$（题目中$h_0 = = 465 \, \text{mm}$，这里按题目给定值计算）。
  2. 计算$\alpha_s$值：
    • 根据公式$\alpha_s=\frac{M}{\alpha_1 f_c b h_0^2}$，将已知数据代入可得：
      $\alpha_s=\frac{125\times10^{6}}{1\times14.3\times2500\times465^{2}}\approx0.1617$
  3. 计算相对受压区高度$\xi$：
    • 由$\alpha_s=\xi(1 - 0.5\xi)$，即$0.1617=\xi(1 - 0.5\xi)$，整理得$0.5\xi^{2}-\xi + 0.1617 = 0$。
    • 根据一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$a = = 0.5$，$b=-1$，$c = 0.1617$，则：
      $\xi=\frac{1\pm\sqrt{1^{2}-4\times0.5\times0.1617}}{2\times0.5}}{2\times0.5}=\frac{1\pm\sqrt{1 - 0.3234}}{}}{}}{1.1617}}{1}=\frac{1\pm\sqrt{0.6766}}{1}$
      取较小值$\xi=\frac{1-\sqrt{0.6766}}{1}\approx0.1774$（舍去$\frac{1 + \sqrt{0.6766}}{1}$，因为其大于$\xi_b$）。
    • 由于$\xi = 0.1774<\xi_b = 0.518$，所以该梁为适筋梁。
  4. 计算受拉钢筋截面面积$A_s$：
    • 根据公式$A_s=\frac{\alpha_1 f_c b h_0 \xi\}/f_y$，将数据代入可得：
      $A_s=\frac{1\times14.3\times250\times465\times0.1774}{360}\approx819.2 \text{mm}^2$
  5. 选择钢筋规格并验算：
    • 选用 3 根$\phi 20$钢筋，根据钢筋面积计算公式$A=\frac{\pi d^{2}}{4}$（$d$为钢筋直径），可得$A_s = 3\times\frac{\pi\times20^{2}}{4}=3\times314.16 = = 942.48 \, \text{mm}^2>819.2 \, \text{mm}^2$，满足要求。
    • 最小配筋率$\rho_{min}=\max\{0.2\%,0.45\frac{f_t}{f_y}\}=\max\{0.2\%,0.45\times\frac{1.43}{360}\}\approx0.215\%$。
    • 实际配筋率$\rho=\frac{A_s}{bh_0}=\frac{942.48}{250\times465}\approx0.81\%>0.215\%$，符合规范。
    • 重新计算相对受压区高度$\xi=\frac{A_s f_y}{\alpha_1 f_c b h_0}=\frac{942.48\times360}{1\times14.3\times250\times465}\approx0.204<0.518$，满足适筋梁条件。
  6. 绘制配筋图：
    • 梁截面尺寸为$500 \, \text{mm}\times250 \, \text{mm}$，底部布置 3 根$\phi20$钢筋，间距 75mm，保护层 20mm。