若(Tn)是Hilbert 空间H上有界线性算子列,且-|||-||(T)_(n)-T||arrow 0, 试证:T7→T×.

考查要点：本题主要考查Hilbert空间中有界线性算子的伴随算子性质、算子范数收敛与强收敛的关系。

解题核心思路：

1. 伴随算子的范数性质：利用伴随算子的范数等于原算子的范数，即$||T^*|| = ||T||$。
2. 算子范数收敛的传递性：由$||T_n - T|| \to 0$，可推出$||T_n^* - T^*|| \to 0$。
3. 强收敛的定义：通过范数收敛结合向量范数的有界性，证明$T_n^*x \to T^*x$对任意$x \in H$成立。

破题关键点：

• 关键结论：$||T_n^* - T^*|| = ||T_n - T||$。
• 核心方法：将算子范数收敛转化为对任意向量作用后的向量范数收敛。

步骤1：证明伴随算子的范数收敛

由伴随算子的性质可知：
$||T_n^* - T^*|| = ||(T_n - T)^*|| = ||T_n - T||.$
根据题设条件$||T_n - T|| \to 0$，可得：
$||T_n^* - T^*|| \to 0.$

步骤2：证明强收敛

对任意固定的$x \in H$，有：
$||T_n^*x - T^*x|| \leq ||T_n^* - T^*|| \cdot ||x||.$
由于$||T_n^* - T^*|| \to 0$，且$||x||$为常数，因此：
$||T_n^*x - T^*x|| \to 0.$
这表明$T_n^*$在强算子拓扑下收敛于$T^*$，即$T_n^* \to T^*$（强收敛）。