题目

求定积分(int )_(0)^1((3x-2))^4dx

求定积分 $\int_0^1\left(3x-2\right)^4dx$

题目解答

答案

本题答案为 $-\frac{31}{15}$

解：根据凑微分法有： $\left(3x-2\right)^4dx=\frac{1}{3}\left(3x-2\right)^4d\left(3x-2\right)$

将其代入上述所求定积分中有：定积分 $\int_0^1\left(3x-2\right)^4dx$ $=\frac{1}{3}\int_0^1\left(3x-2\right)^4d\left(3x-2\right)$

根据单基本函数积分结果： $\int_{ }^{ }u^4du=\frac{1}{5}u^5+C$ 可得：定积分 $\int_0^1\left(3x-2\right)^4dx$ $=\frac{1}{3}\int_0^1\left(3x-2\right)^4d\left(3x-2\right)$

$=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\left(3x-2\right)^5|_0^1=\frac{1}{15}\left(1-32\right)=-\frac{31}{15}$

所以本题答案为 $-\frac{31}{15}$

解析

步骤 1：使用凑微分法
将${(3x-2)}^{4}dx$转换为$\dfrac {1}{3}{(3x-2)}^{4}d(3x-2)$，以便于积分计算。
步骤 2：应用单基本函数积分公式
根据单基本函数积分结果${u}^{4}du=\dfrac {1}{5}{u}^{5}+C$，将$\dfrac {1}{3}{(3x-2)}^{4}d(3x-2)$积分。
步骤 3：计算定积分
将积分结果代入定积分的上下限，计算定积分${\int }_{0}^{1}{(3x-2)}^{4}dx$的值。