题目
函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于( )．A．0B．π/4C．π/2D．π
函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于( )．
A．0
B．π/4
C．π/2
D．π
题目解答
答案
正确答案：C
解析：本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论．
由于y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y"|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，从而应有
．
故知应选C．
解析：本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论．
由于y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y"|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，从而应有
．故知应选C．
解析
步骤 1：验证罗尔定理的条件
罗尔定理的条件是：函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在区间端点处函数值相等，即f(a) = f(b)。对于函数y=sinx在区间[0，π]上，我们验证这些条件。
步骤 2：验证函数在区间[0，π]上连续
函数y=sinx在实数集上是连续的，因此在区间[0，π]上也是连续的。
步骤 3：验证函数在区间(0，π)内可导
函数y=sinx在实数集上是可导的，因此在区间(0，π)内也是可导的。
步骤 4：验证函数在区间端点处函数值相等
y|_{x=0} = sin(0) = 0，y|_{x=π} = sin(π) = 0，因此y|_{x=0} = y|_{x=π}。
步骤 5：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得y'|_{x=ξ} = cos(ξ) = 0。
步骤 6：求解cos(ξ) = 0
在区间(0，π)内，cos(ξ) = 0的解为ξ = π/2。
罗尔定理的条件是：函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在区间端点处函数值相等，即f(a) = f(b)。对于函数y=sinx在区间[0，π]上，我们验证这些条件。
步骤 2：验证函数在区间[0，π]上连续
函数y=sinx在实数集上是连续的，因此在区间[0，π]上也是连续的。
步骤 3：验证函数在区间(0，π)内可导
函数y=sinx在实数集上是可导的，因此在区间(0，π)内也是可导的。
步骤 4：验证函数在区间端点处函数值相等
y|_{x=0} = sin(0) = 0，y|_{x=π} = sin(π) = 0，因此y|_{x=0} = y|_{x=π}。
步骤 5：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得y'|_{x=ξ} = cos(ξ) = 0。
步骤 6：求解cos(ξ) = 0
在区间(0，π)内，cos(ξ) = 0的解为ξ = π/2。