题目
24.设二维随机变量(X,Y)在区域 = (x,y)|xgeqslant 0,ygeqslant 0,x+yleqslant 1 上服从均匀分布.求(1)-|||-(X,Y)关于X的边缘概率密度;(2)-|||-=x+y 的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定区域D的面积
区域D是一个直角三角形，其顶点为(0,0)，(1,0)，(0,1)。因此，区域D的面积为$S=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$。
步骤 2：计算(X,Y)的联合概率密度函数
由于(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其联合概率密度函数为$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{S}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，当$(x,y)\in D$时，否则为0。
步骤 3：计算(X,Y)关于X的边缘概率密度
边缘概率密度函数$f_{X}(x)$可以通过对联合概率密度函数$f_{X,Y}(x,y)$关于y进行积分得到。对于给定的x，y的取值范围为$0\leq y\leq 1-x$。因此，$f_{X}(x)=\int_{0}^{1-x}2dy=2(1-x)$，当$0\leq x\leq 1$时，否则为0。
步骤 4：计算Z=X+Y的概率密度
Z=X+Y的概率密度函数可以通过卷积公式计算得到。由于X和Y的取值范围为$0\leq x\leq 1$和$0\leq y\leq 1-x$，因此Z的取值范围为$0\leq z\leq 1$。对于给定的z，$f_{Z}(z)=\int_{0}^{z}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx$。由于$f_{X}(x)=2(1-x)$和$f_{Y}(y)=2(1-y)$，因此$f_{Z}(z)=\int_{0}^{z}2(1-x)2(1-(z-x))dx=4\int_{0}^{z}(1-x)(1-z+x)dx=4\int_{0}^{z}(1-z+x-x^2)dx=4[z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}]$，当$0\leq z\leq 1$时，否则为0。
区域D是一个直角三角形，其顶点为(0,0)，(1,0)，(0,1)。因此，区域D的面积为$S=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$。
步骤 2：计算(X,Y)的联合概率密度函数
由于(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其联合概率密度函数为$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{S}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，当$(x,y)\in D$时，否则为0。
步骤 3：计算(X,Y)关于X的边缘概率密度
边缘概率密度函数$f_{X}(x)$可以通过对联合概率密度函数$f_{X,Y}(x,y)$关于y进行积分得到。对于给定的x，y的取值范围为$0\leq y\leq 1-x$。因此，$f_{X}(x)=\int_{0}^{1-x}2dy=2(1-x)$，当$0\leq x\leq 1$时，否则为0。
步骤 4：计算Z=X+Y的概率密度
Z=X+Y的概率密度函数可以通过卷积公式计算得到。由于X和Y的取值范围为$0\leq x\leq 1$和$0\leq y\leq 1-x$，因此Z的取值范围为$0\leq z\leq 1$。对于给定的z，$f_{Z}(z)=\int_{0}^{z}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx$。由于$f_{X}(x)=2(1-x)$和$f_{Y}(y)=2(1-y)$，因此$f_{Z}(z)=\int_{0}^{z}2(1-x)2(1-(z-x))dx=4\int_{0}^{z}(1-x)(1-z+x)dx=4\int_{0}^{z}(1-z+x-x^2)dx=4[z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}]$，当$0\leq z\leq 1$时，否则为0。