题目
2.设矩阵A经过三次初等变换变成矩阵B:A=((}1&23&37&8)=B写出相应的初等矩阵P_(1),P_(2),P_(3),使得B=P_(2)P_(1)AP_(3).
2.设矩阵A经过三次初等变换变成矩阵B:
$A=\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\\7&8\end{matrix}\right)\overset{r_{2}-r_{1}}{\rightarrow}\left(\begin{matrix}1&2\\3&3\\7&8\end{matrix}\right)\overset{r_{3}-r_{1}}{\rightarrow}\left(\begin{matrix}1&2\\3&3\\6&6\end{matrix}\right)\overset{c_{2}-c_{1}}{\rightarrow}\left(\begin{matrix}1&1\\3&0\\6&0\end{matrix}\right)=B$
写出相应的初等矩阵$P_{1},P_{2},P_{3}$,使得$B=P_{2}P_{1}AP_{3}$.
题目解答
答案
根据题目中给出的初等变换，对应初等矩阵如下：
1. **行变换 $r_2 - r_1$**：
第二行减去第一行，对应矩阵 $P_1$ 为
\[
P_1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
2. **行变换 $r_3 - r_1$**：
第三行减去第一行，对应矩阵 $P_2$ 为
\[
P_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
3. **列变换 $c_2 - c_1$**：
第二列减去第一列，对应矩阵 $P_3$ 为
\[
P_3 = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
**答案：**
\[
\boxed{
P_1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}, \quad
P_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}, \quad
P_3 = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
}
\]